6.1 平方根-2023-2024学年七年级数学下学期同步学案（人教版）

6.1 平方根 【学习目标】 1.了解算术平方根的概念、表示方法和算术平方根的性质，能够运用算术平方根的性质解决问题。 2.了解平方根的概念、表示方法和平方根的性质，能够运用平方根的性质进行开平方运算。 【阅读教材P40-P46页，完成下列填空】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的 。a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做 。 规定：0的算术平方根是 。 实际上，许多 的算术平方根(例如，，等)都是 小数。 大多数计算器都有√键，用它可以求出一个正有理数的 (或其近似值)。 一般地，如果一个数的 等于a，那么这个数叫做a的 或 。这就是说，如果x²=a，那么x叫做a的 。 求一个数a的平方根的运算，叫做 。如±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为 逆运算。根据这种互逆关系，可以求一个数的 。 的平方根有两个，它们 ，其中 的平方根就是这个数的算术平方根。 因为0²=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是 。 正数的平方是 ，0的平方是 ，负数的平方也是 ，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是 ，所以 没有平方根。 正数a的算术平方根可以用表示；正数a的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数a的平方根可以用符号“ ”表示，读作“正、负根号a”。 考点一：求一个数的算术平方根 例1．若实数x、y满足，则的算术平方根是（　　） A．36 B． C．6 D． 【变式演练】 已知某数的算术平方根是，则这个数是 ． 考点二：利用算术平方根的非负性解题 例2．已知实数a，b，c满足：，求的值． 【变式演练】 已知，求代数式的值． 考点三：估算算术平方根的取值范围 例3．估算在（    ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【变式演练】 已知，则 ． 考点四：平方根的概念 例4．下列说法正确的是（    ） A．的平方根是 B．表示6的算术平方根的相反数 C．任何数都有平方根 D．一定没有平方根 【变式演练】 一个正数m的两个平方根分别是4和，则 ． 考点五：求一个数的平方根 例5．已知x是16的算术平方根，y是9的平方根，求的值． 【变式演练】 已知，则的平方根是 ． 考点六：已知一个数的平方根，求这个数 例6．已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分是． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式演练】 （1）已知某正数的平方根为和，求这个数是多少？ （2）已知，是实数，且，求的平方根． 考点七：利用平方根解方程 例7．方程中的x值等于 ． 【变式演练】 方程的解为 ． 【探究一】设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 【探究二】若有理数、使得，，，这四个数中的三个数相等，则 ． 一、单选题 1．若满足，则的平方根是（    ） A． B． C．3 D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最小 C．时最大 D．时最小 4．已知实数，若互为相反数，互为倒数，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为11，较小的正方形的面积为4，中间重叠部分的面积为1，则图中三角形的面积为（    ） A．11 B．10 C．6 D．5 6．设，，，…，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知与是的平方根，则的值 ． 8．已知，是数轴上到原点距离为1的点所表示的数，则的值为 ． 9．若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是平方根等于本身的数，则的值是 ． 10．请你计算下列四个式子的值：；；；，并观察你的计算结果，用你发现的规律得出：的值为 ． 三、解答题 11．计算 (1)； (2)． 12．计算 (1)； (2)． 13．已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 14．解答下列问题： (1)