专题02 一次函数的图象和性质-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题02 一次函数的图象和性质 思维导图 核心考点聚焦 1.识别一次函数 2.根据一次函数的定义求参数 3.已知点在直线上求代数式的值 4.一次函数的图象和性质 5.根据函数图象经过的象限求参数 6.根据一次函数的增减性求参数 7.比较一次函数值的大小 8.一次函数图象与坐标轴的交点问题 9.画一次函数图象 10.判断两个一次函数图象的共存问题 11.一次函数图象平移问题 12.一次函数的规律探究问题 一、函数的自变量的取值范围 （1）自变量的取值范围 函数自变量的取值范围是根据函数的表达式的形式来考虑的，表达式的形式主要有以下几种： 整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零.在实际问题中，自变量的取值范围必须保证每个量都有意义. （2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值． 二、函数的图象及画法 （1）函数的图象：对于一个函数，把自变量与对应的函数值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形.如：某天气温随时间的变化． （2）已知函数的表达式，绘制函数图象步骤： ①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应的函数值；③描点：在坐标轴上对应点描点；④连线：用平滑曲线依次连接. 三、一次函数与正比例函数的概念 （1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数.故正比例函数是特殊的一次函数. （2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数的表达式的一对x，y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标为x，纵坐标为y，方程成立. （3）两个函数图象的交点坐标：就是两个表达式组成的方程组的解. 四、一次函数（，为常数，）的图象与性质 （1）一次（正比例）函数的图象是一条直线； （2）已知两点可以作图，也可求出表达式； （3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； （4）所经过象限及函数的增减性 　 （过第一、二象限） （过第三、四象限） （过原点） （过第一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过第二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 五、一次函数（，为常数，）沿坐标轴平移个单位长度后的函数关系式 平移 平移变换后的函数关系式 沿轴 向上平移个单位长度 向下平移个单位长度 沿轴 向右平移个单位长度 向左平移个单位长度 六、一次函数（，为常数，）关于坐标轴对称后的函数关系式 关于坐标轴对称 对称变换后的函数关系式 关于轴对称 关于轴对称 七、由函数图象比较函数值的大小 函数图象上的点（x，y）是由适合函数的表达式的一对x，y的值组成的，x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低. 1.一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.特别注意的是自变量的指数是1，自变量的系数不为0. 2.一次函数的图象和性质是需要重点掌握的内容.表达式是一条直线，能求解与x轴，y轴的交点坐标，可以判断一次函数图象经过的象限，以及一次函数的增减性. 考点剖析 考点一、识别一次函数 例题1：下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①②④是一次函数，③不是一次函数，⑤需要添加这个条件才是一次函数，⑥不是一次函数，故选C． 考点二、根据一次函数的定义求参数 例题2：已知函数是关于的一次函数，则m= ，若该函数是正比例函数，则m= ，n= ． 【答案】，，0 【解析】当函数是关于的一次函数时，，且，解得； 当函数是关于的正比例函数时，，，且，解得，． 考点三、已知点在直线上求代数式的值 例题3：已知点在函数的图象上，则 ． 【答案】2013 【解析】∵点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2013． 考点四、一次函数的图象和性质 例题4：关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、二、四象限 B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而增大 D．图象与y轴交于点 【答案】B 【解析】A、由，则图象必过第二、四象限，由，则图象还