专题02因式分解（8大考点）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题05因式分解 思维导图 核心考点聚焦 1. 因式分解的定义 2. 公因式 3. 判断能否用公式法分解因式 4. 因式分解 5. 十字相乘法 6. 分组分解法 7. 整体思想与因式分解 8. 因式分解的应用 一、因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【注意】1．因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2．因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； 3．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 二、用提公因式法分解因式 1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2．怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3．提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提公因式并确定另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式． 【注意】1．多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． 2．提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． 3．若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 三、用平方差公式分解因式 1．平方差公式的等号两边互换位置，得． 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2．特点：（1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 四、用完全平方公式分解因式 1．完全平方公式的等号两边互换位置，得，． 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2．特点：（1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3．公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 1.提公因式法分解因式 （1）公因式必须是每一项中都含有的因式． （2）公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式． （3）要善于发现隐蔽的公因式，如（a-b）与（b-a）是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式． （4）提公因式时利用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式，即用公因式分别去除原多项式的每一项，求得剩下的另一个因式． 2.公式法分解因式 ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． ③要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 3.因式分解的其他方法 （1）分组分解法： 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 如二二分法： ax+ay+bx+by ＝（ax+ay）+（bx+by） ＝a（x+y）+b（x+y） ＝（x+y）（a+b） 三一分法： 9m2﹣4x2+4xy﹣y2 ＝9m2﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝（3m）2﹣（2x﹣y）2 ＝（3m+2x﹣y）（3m﹣2x+y）； （2）十字相乘法 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子x2+3x+2分解因式，这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x