专题03 圆锥曲线的方程-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题03 圆锥曲线的方程 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 7 【重点保分一】椭圆及其标准方程 7 【重点保分二】双曲线及其标准方程 8 【重点保分三】抛物线及其标准方程 9 【重点保分四】椭圆及双曲线的离心率 10 【重点保分五】双曲线的渐近线 11 【重点保分六】圆锥曲线其他简单几何性质 12 【难点增分】 13 【难点增分一】直线与椭圆位置关系 13 【难点增分二】直线与双曲线位置关系 15 【难点增分三】直线与抛物线位置关系 16 【培优满分】 17 【培优满分一】点差法 17 【培优满分二】定点与定值 18 【培优满分三】最值与范围 20 【技巧总结】 21 【单元检测】 25 知识梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2.椭圆的方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 3.椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 4.离心率的性质 5.直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 6.弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝＝或 |AB|＝. 7.双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 8.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 9.双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 10.离心率的几何性质 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 11.双曲线的方程及性质的应用 (1)直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线