2024年河南中考数学备考重难专题课件：二次函数图象与性质综合题 对称性、增减性、最值问题

二次函数图象与性质综合题 2024中考备考重难专题课件 对称性、增减性、最值问题 二次函数图象与性质综合题 课堂练兵 课后小练 1 典例精讲 2 3 对称性、增减性、最值问题 目录 考情分析 年份 题号 题型 分值 解题关键点 设问形式 2023 21 解 答 题 10 (1)将B(0，c)转化为A(c，0) (2)根据抛物线上点与对称轴的距离，判断出点M的位置；分类讨论点M，N的坐标；根据二次函数增减性确定最值 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)求抛物线上动点Q纵坐标的取值范围 典例精讲 例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t.(1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； 解：(1)∵y＝x2－2tx＋t2－t＝(x－t)2－t，∴抛物线的顶点坐标为(t，－t)； 看到这个能想到什么？ 完全平方式 例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t. (2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t.①若y1的最小值是－2，求y1的最大值； 画出草图，标出对称轴 t－1≤x1≤t＋2与对称轴的关系？ t－1在对称轴左侧 t＋2在对称轴右侧 当x1=t时， y1取最小值 最大值在哪取？ 直线x=t＋2离对称轴较远 从图像发现了什么? 当x1=t＋2时，y1取最大值 (2)①∵y＝(x－t)2－t，∴抛物线的对称轴为直线x＝t.∵1>0，∴抛物线开口向上．∵t－1≤x1≤t＋2，∴当x＝t时，y1的最小值为－t.∵y1的最小值是－2，∴t＝2.∵|t－1－t|＝1，|t＋2－t|＝2，∴当x＝t＋2时，y1最大＝(t＋2－t)2－t＝4－t＝4－2＝2，即y1的最大值为2； 例 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2tx＋t2－t. (2)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线上，其中t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t. ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围． 由题可得y2－y1>0，将x1，x2代入y2－y1>0并用含t的代数式表示 【解法提示】∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在抛物线y＝(x－t)2－t上，∴y1＝(x1－t)2－t，y2＝(x2－t)2－t.∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2－y1＝(x2－t)2－t－(x1－t)2＋t＝(x2－t)2－(x1－t)2＝(x2－x1)(x2＋x1－2t)>0，∴ (Ⅰ)当 时，由①知，x2>x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t>t＋2，∴t＜－ .由②知，x2＋x1>2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t<0，∴t<0，即t＜－ ； (Ⅱ)当 时，由③知，x2＜x1，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴1－t＜t－1，∴t>1.由④知，x2＋x1＜2t，∵t－1≤x1≤t＋2，x2＝1－t，∴0≤x2＋x1≤3，∴2t>3，∴t> ，综上所述，满足条件的t的取值范围为t＜－ 或t> . ②t<－ 或t> . 方法总结 求抛物线上点的纵坐标最值或取值范围的一般步骤： 第一步 画草图，求出对称轴（直线x=t）； 第二步 结合草图，判断两端点x1，x2（取值范围为x1≤x≤x2）与对称轴（直线x=t） 的位置：位于对称轴的同侧，还是异侧.若位于同侧，则只根据增减性确定 确定最值的位置（即两端点处）；若为异侧，则顶点处为其中的一个最值 点，另一个最值，根据离对称轴的距离确定（或根据对称性转移到同侧， 根据增减性确定）； 第三步 取最值处的x值代入函数解析式，确定最值或取值范围. 对称轴 最值 开口方向 对称轴同侧 x1≤x≤x2 对称轴异侧 x1≤x≤x2 a＞0 y1＞y2 最小值：离对称轴越近端点纵坐标 最大值：离对称轴越远端点纵坐标 yt最小，y1最大 最小值：顶点的纵坐标 最大值：离对称轴越远端点纵坐标 利用对称性将将两点转化到同侧，根据增减性比较大小 对称轴 最值 开口方向 两端点在对称轴同侧 x1≤x≤x2 两端点在对称轴异侧 x1≤x≤x2 a＜0 y1＞y2 最大值：离对称轴越近端点纵坐标 最小值：离对称轴越远端点纵坐标 yt最大，y2最小 最大值：顶点纵坐标 最小值：离对称轴越远端点