1.2.3直线与平面的夹角导学案（1）-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 高一 时间 2023年 月 日 课题 1.2.3 直线与平面的夹角 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习 目标 1. 理解直线与平面的夹角定义. 2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 一、知识填空： 知识点一 直线与平面的夹角 定义：一条斜线和它在平面上的 所成的 叫作这条直线和这个平面所成的角。特别地：若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 的角. 知识点二 三余弦定理 设为斜线与平面内的一条直线所成的角，为斜线与平面所成的角，为斜线在平面内的射影与平面内的一条直线所成的角，则= ，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中 . 知识点三 直线与平面的夹角求法 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ.如图①②所示． 则θ＝ 或θ＝ ，则有sin θ= = . 特别提醒：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 二、预习自测 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( ) 2．线面角和异面直线所成角的范围都是. ( ) 3．如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面的夹角为90°.( ) 4．如果一条直线与一个平面平行或在平面内，那么这条直线与平面的夹角为0°.( ) 三、典例探究 例1：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA′＝θ1，∠A′OM＝θ2，∠AOM＝θ，则θ，θ1，θ2之间的关系为cos θ＝cos θ1cos θ2. 例2: 已知是正方体，求与平面所成角的大小。 类型一 利用定义求直线与平面所成的角 【例1】 (直观想象)如图，正四棱锥P-ABCD底面边长为 ，高为1，求直线BE与平面PAC所成的角． 类型二 利用cos θ＝cos θ1cos θ2求直线与平面的夹角 【例2】 (2021·辛集中学期中)如图，∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角． 类型三 利用空间向量求直线与平面的夹角 【例3】 (数学运算)已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 4、 课堂检测： 1、 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角为 . 2.如图，正四面体ABCD，求AB与平面BCD所成角的余弦值． 3.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于点E，且BE＝，求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值． 五、小结 学科网（北京）股份有限公司 $$