1.2.2空间中的平面与空间向量（1）导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

学科 数学 年级 高二 时间 2023 年 8 月 日 课题 1.2.2空间中的平面与空间向量 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1. 理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量. 2. 会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系. 一、知识填空 知识点一 平面的法向量 1.定义:如果 是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面 ,则称n为平面 的一个法向量.此时,也称n与平面 垂直,记作 . 2.性质: (1)如果直线l垂直平面 ,则直线l的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量; (2)如果n是平面 的一个法向量,则对任意的实数 ≠0,空间向量 n也是平面 的一个法向量,而且平面 的任意两个法向量都平行; (3)如果n为平面 的一个法向量,A为平面 上一个已知的点,则对于平面 上任意一点B,向量AB一定与向量量n垂直,即 n=0,从而可知平面 的位置可由n和A唯一确定. 3.平面的法向量的求法(待定系数法) 知识点二 空间平行、垂直关系的向量表示 1.直线与平面位置关系的判断 如果v是直线l的一个方向向量,n是平面 的一个法向量,则 n∥v ;n⊥v . 2.平面与平面位置关系的判断 如果n1是平面 1的一个法向量,n2是平面 2的一个法向量,则 n1⊥n2 ;n1∥n2 . 二、预习自测 1.直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行. ( ) 2.平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量.( ) 3.如果a,b与平面 共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面 的一个法向量.( ) 三、典例探究 问题1:我们已经知道空间中的直线,根据它的方向向量和一个点可以描述这条直线的位置,那么,对于空间中的平面,能否引进类似的向量来描述其位置? 思考1:一个平面的法向量是否唯一? 例1 如图,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中 . 求平面ABC的一个法向量. 问题2:如果 是直线的一个方向向量, 是平面的一个法向量,分别探讨与时,直线l与平面的关系; 如果是平面的一个法向量, 是平面的一个法向量,分别探讨论与时,平面与平面的关系。 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱A1B,与A1C1的中点. 求证:MN∥面ADD1A1. 变式:本题中,若E,F,P、Q分别为棱BB1,CD,AA1,CC1的中点 求证:(1)平面ADE∥平面B1C1P; (2)NQ⊥平面BC1D (3)平面ADE⊥平面A1D1F. 四、课堂检测 1.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面 的法向量为n=(-2,0,-4),则( ) A.l∥ B.l⊥ C.l⊂ D.l与 斜交 2.若直线l∥ ,且l的方向向量为(2,m,1),平面 的法向量为1,,2,则m为( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 3.若平面 , 的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则 与 的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 4.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列结论正确的序号为 . ①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量;④. 五、小结 学科网(北京)股份有限公司 $$