2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：矩形、菱形、正方形

矩形、菱形、正方形 矩形、菱形、正方形 知识梳理 矩形、菱形、正方形 矩形、菱形、正方形 矩形、菱形、正方形 考点一　矩形的性质和判定 典例1 （2023·徐州二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝ 　　⁠. 典例1图 　 考点突破 典例2 （2022·泰州）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线. 典例2图 （1） 求证：AF与DE互相平分. 解：（1） ∵ DE为△ABC的中位线，∴ D，E分别为AB，AC的中点.∴ AD＝AB.∵ AF为△ABC的中线，∴ F为BC的中点.∴ EF∥AB， EF＝AB.∴ EF＝AD.∴ 四边形ADFE是平行四边形.∴ AF与DE互相平分. （2） 当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由. 解：（2） 当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形.理由：∵ 线段DE为△ABC的中位线，∴ DE＝BC. ∵ AF＝BC，∴ AF＝DE.由（1），得四边形ADFE是平行四边形，∴ 四边形ADFE为矩形. 考点二　菱形的性质和判定 典例3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为 　　⁠. 典例3图 　 典例4 （2022·南京）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC于点O，交AM于点D，连接CD.求证：四边形ABCD是菱形. 典例4图 解：∵ AM∥BN，∴ ∠DAC＝∠BCA.∵ AC平分∠BAM， ∴ ∠BAC＝∠DAC.∴ ∠BCA＝∠BAC.∴ BC＝BA.∵ BD⊥AC， ∴ ∠AOB＝∠AOD＝90°.∵ ∠BAC＝∠DAC，∴ 易得 ∠ABO＝∠ADO.∴ AB＝AD.∴ AD＝BC.∵ AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵ BD⊥AC，∴ 四边形ABCD是菱形. [方法归纳] 判定一个四边形是菱形的三种证明思路 一是先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等；二是先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直；三是证明四条边都相等.解题时要灵活选用判定方法进行证明. 考点三　正方形的性质与判定 典例5 （2022·无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝ 　1　⁠. 典例5图 1　 典例6 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH. 求证： （1） △AHE≌△BEF； 解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵ AE＝BF＝DH，∴ DA－DH＝AB－AE，即AH＝BE. ∴ △AHE≌△BEF. 典例6图 （2） 四边形EFGH是正方形. 解：（2） 同理（1），可得△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. ∴ EH＝FE＝GF＝HG，∠EHA＝∠HGD.∴ 四边形EFGH是菱形.∵ ∠HGD＋∠GHD＝90°， ∴ ∠EHA＋∠GHD＝90°. ∴ ∠EHG＝90°.∴ 四边形EFGH是正方形. [方法归纳] 判定一个四边形是正方形的三种方法 一是有一个角是直角的菱形是正方形；二是有一组邻边相等的矩形是正方形；三是对角线相等的菱形是正方形. 1. （2022·无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　C　） A. 对边平行 B. 对角线相互平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角互补 2. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF.设∠CBE＝α，则∠AFP的度数是（　B　） A. 2α B. 90°－α C. 45°＋α D. 90°－α 第2题 C B 1 2 3 4 5 6 课堂练习 3. （2023·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.连接AC，EF，当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（　D　） A. B. 9 C. 15 D. 30 第3题 D 1 2 3 4 5 6 4. （2022·南京）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是（－1，0），点D的坐标是（－2，4），则点C的坐标是 　（2，⁠.　 第4题 （2， 5）　 1 2 3 4 5 6 5. （2023·宿迁模拟）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，E是CD上一点，连接EO并延长，交AB于点F，连接AE，CF. （1） 求证：△