2024年河南中考数学备考重难专题课件：真实情境中的圆问题

真实情境中的圆问题 2024中考备考重难专题课件 真实情境中的圆问题 课堂练兵 课后小练 1 典例精讲 2 3 目录 考情分析 年份 题号 题型 分值 背景素材 考查知识 设问形式 辅助线作法 2022 22 解答题 10 滚铁环 (1)切线的性质、互为余角的性质； (2)锐角三角函数，等角的三角函数值相等 (1)求证：两角之和为90°； (2)求线段长 (1)过切点作铅垂线的平行线； (2)过切点作另一切线的平行线 2021 20 9 石磨（传统文化、跨学科“连杆”） (1)切线的性质、互为余角的性质、圆周角定理； (2)相似三角形的判定与性质、勾股定理 (1)求证：角之间的2倍关系； (2)求线段长 (1)连圆心和切点； (2)过点P作直径的垂线 年份 题号 题型 分值 背景素材 考查知识 设问形式 辅助线作法 2020 20 解答题 9 三分角器（数学文化） 切线的性质、全等三角形的判定与性质 补充已知、求证，写出证明过程 连接圆心和切点 典例精讲 例 (2023开封模拟)中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮、竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5米的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB.请解答下列问题： (1)求证：∠PAC＝∠PBA； 还是无法联系∠PAC和∠PBA，还可以怎样作辅助线？ 借助半径构造直径试试，并连接CE E 例题图 知切点，连半径 观察图形还有什么发现？ (1)求证：∠PAC＝∠PBA； E 例题图 ∠PBA=∠AEC 互余的性质得到∠AEC=∠PAC=∠PBA 拓展：∠PAC这种顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，即本题中证明的∠PAC＝∠PBA 例题图 注意： ①弦切角需要证明 ②连半径不能直接应用解题还需要构造直径 答题步骤 作辅助线 证∠EAC＋∠PAC＝90° 证∠EAC＋∠AEC＝90° 证得∠PAC＝∠PBA 证∠AEC＝∠ABC (1)证明：如解图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，∵PA是⊙O的切线，∴∠EAP＝90°，∴∠EAC＋∠PAC＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC＋∠AEC＝90°， ∴∠PAC＝∠AEC∵∠AEC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠PAC，即∠PAC＝∠PBA； 解图 锐角三角函数 (2)请求出水槽AP的长度． 求线段长我们可以想到什么方法？ 三角形相似 图中构成A字型相似（有公共角，且另一组角相等） 例题图 AP在哪个三角形中？ PC=32 △PAC∽△PBA PA2＝PB·PC ? BC ? D F Rt△OFC中求得FC，BC 勾股定理 三角形全等 半径为5 ⊙O的最低点到水面的距离为2米 已知： DF=2 答题步骤 作辅助线 求PB 证△PAC∽△PBA 求出PA 列比例式 (2)解：如解图，过点O作OF⊥BC于点F，延长OF交⊙O于点D，连接OC，∵BC为水平面，∴D为⊙O的最低点，由题知DF＝2米，由垂径定理可得BC＝2CF，在Rt△OFC中，OF＝OD－DF＝5－2＝3米，OC＝5米， 则CF＝ ＝4米，∴BC＝2CF＝8米，PB＝32＋8＝40米，∵∠P＝∠P，∠PAC＝∠PBA，∴△PAC∽△PBA， ∴ ＝ ， 即PA2＝PB·PC， ∴PA＝ ＝16 米．答：水槽AP的长度为16 米． 解图 方法总结 真实情境中的圆问题 切线的性质、圆周角定理及其推论、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数、勾股定理 相似A字型，特点为有共用的一组角，且有另外一组角相等，形似字母“A” 辅助线作法： 过圆心连半径，通常还要再转化构造直径去解题(题中没有给出直径的情况) 拓展： 题中这种角是弦切角，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 知识点： 模型： 解题方法： 1.证明角间数量关系 切线的性质，圆周角定理的推论，两半径构成的等腰三角形，角间等量转换，两角互余的性质 2.求线段长 通常有3种方法： ①锐角三角函数，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用锐角三角函数需要已知一条边和一个角； ②勾股定理，此时线段要在直角三角形中或者能够构造直角三角形，用勾股定理需要已知两边； ③三角形相似、全等，用相似需要证明两组角相等，有等边则证明全等 真实情境中的