5.3.1　正方形的判定同步练习　　2023-—2024学年浙教版数学八年级下册

第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第1课时　正方形的判定 基础过关全练 知识点1　正方形的定义 1.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BC,则下列条件中,能使四边形ABCD是正方形的是(　　) A.AC与BD互相平分　B.AB∥CD C.AB=AD　D.AB⊥BC 第1题图 第2题图 2.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,试补充一个条件:　　　　,使四边形ABCD是正方形.  知识点2　正方形的判定 3.(2023浙江杭州上城东城实验中学期中)下列命题错误的是(　　) A.如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形 B.如果一个四边形的对角线互相垂直平分,那么它一定是菱形 C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.四条边相等,且有一个角是直角的四边形是正方形 4.【一题多变·线段垂直且相等,证正方形】【十字架模型】已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边CD、AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF.求证:矩形ABCD是正方形. [变式1·角平分线+垂直,证矩形内正方形]如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,与AD相交于点E,EF⊥BC,垂足为F.求证:四边形ABFE是正方形. [变式2·角平分线+垂直,证矩形外正方形]如图,在矩形ABCD中,AE平分∠DAB交DC的延长线于点E,过点E作EF⊥AB,垂足F在边AB的延长线上.求证:四边形ADEF是正方形. 5.【教材变式·P124例1】如图,在四边形ABCD中,点E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.连结EF,若BE⊥EC,EF⊥BC,说明:四边形EGFH是正方形. 6.如图,已知菱形ABCD,E、F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF=BE,连结CE、AE、AF、CF.求证:四边形AECF是正方形. 能力提升全练 7.(2022浙江绍兴中考,8,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法: ①存在无数个平行四边形MENF; ②存在无数个矩形MENF; ③存在无数个菱形MENF; ④存在无数个正方形MENF. 其中正确的个数是(　　) A.1　B.2　C.3　D.4 8.如图,AD是△ABC的中线,过点A、B分别作BC、AD的平行线,两平行线相交于点E. (1)求证:AE=CD. (2)当AB、AC满足什么条件时. ①四边形AEBD是矩形?请说明理由. ②四边形AEBD是菱形?请说明理由. ③四边形AEBD是正方形?请说明理由. 素养探究全练 9.【推理能力】如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由; (2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由. 第5章　特殊平行四边形 5.3　正方形 第1课时　正方形的判定 答案全解全析 基础过关全练 1.D　∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°, 在平行四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.故选D. 2.答案　AB∥CD(答案不唯一) 解析　答案不唯一.补充条件为AB∥CD. ∵AB=CD,AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠A=90°,AB=BC, ∴▱ABCD是正方形. 3.C　对角线相等的菱形是正方形,所以A正确,不符合题意;对角线互相垂直平分的四边形是菱形,所以B正确,不符合题意;一组对边平行,另一组对边相等的四边形,不能保证两组对边分别平行或两组对边分别相等,所以这个四边形不一定是平行四边形,所以C错误,符合题意;四条边相等的四边形是菱形,有一个角是直角的菱形是正方形,所以这个四边形是正方形,所以D正确,不符合题意.故选C. 4.证明　∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAF=∠ADE=90°, ∴∠ABF+∠AFB=90°, ∵AE⊥BF, ∴∠DAE+∠AFB=90°, ∴∠ABF=∠DAE, 在△ABF和△DAE中, ∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. [变式1]证明　∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,AD∥BC, ∵EF⊥BC,∴EF⊥AD,∴∠AEF=∠BFE=90°, ∴四边形ABFE是矩形, ∵AE∥BF,∴∠AEB=∠EBF, ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBF, ∴∠AB