4.2.3平行四边形的对角线的性质同步练习2023-2024学年浙教版八年级数学下册

第4章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质 第3课时　平行四边形的对角线的性质 基础过关全练 知识点　平行四边形对角线的性质 1.【教材变式·P87例4】如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥AB,垂足为点A,若AB=4,AC=6,则BD的长为(　　) A.6　B.8　C.10　D.12 第1题图 第2题图 2.如图,平行四边形ABCD的周长为80,△BOC的周长比△AOB的周长多20,则BC的长为(　　) A.40　B.10　C.20　D.30 3.【一题多变·已知一边和两对角线长,求证直角三角形】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.△AOB是直角三角形吗?请说明理由. [变式·已知一边和两对角线长,求面积]如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=10,AB=4,求平行四边形ABCD的面积. 4.【一题多变·过对角线交点直线与一对边相交,证线段相等】如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O.过点O的直线EF,分别交BA,DC的延长线于E,F,求证:AE=CF. [变式·对角线延长线上两段线段相等,证线段相等]如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在CA和AC的延长线上,且AE=CF,连结DE,BF.求证:DE=BF. 能力提升全练 5.【面积法】(2023浙江金华金东光南教育集团月考,9,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=,AC=2,BD=2,则AE的长为(　　) A.　B.2　 C.　D. 6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=12,点P为BC上任意一点(不与点B,C重合),连结PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ长的最小值为(提示:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半)(　　) A.6　B.4　C.12　D.6 7.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,连结EC.若△CDE的周长为5,则AD+CD=　　　　.  8.在①DE=BF;②AF=CE;③OE=OF这三个条件中,选择一个合适的条件补充在下面横线上,并完成证明过程. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F在AC上,且　　　　(填写序号).  求证:DE∥BF. 素养探究全练 9.在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连结OE,OF. (1)如图①,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明; (2)若直线l不经过点O,请结合图②判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. 图① 图② 第4章　平行四边形 4.2　平行四边形及其性质 第3课时　平行四边形的对角线的性质 答案全解全析 基础过关全练 1.C　∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴BO=DO,AO=CO=AC=3, ∵AB⊥AC,AB=4,∴BO===5, ∴BD=2BO=10.故选C. 2.D　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,OA=OC, ∵△BOC的周长比△AOB的周长多20, ∴OB+OC+BC-20=OB+OA+AB,∴BC-AB=20,① ∵平行四边形ABCD的周长为80, ∴AB+BC+CD+DA=2(AB+BC)=80, ∴BC+AB=40,② 由①+②,可得2BC=60,∴BC=30. 3.解析　△AOB是直角三角形.理由如下: ∵四边形ABCD是平行四边形,BD=8, ∴OB=OD=BD=4, ∵OA=3,OB=4,AB=5, ∴OA2+OB2=AB2, ∴△AOB是直角三角形,且∠AOB=90°. [变式]解析　∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=6,BD=10,∴OA=OC=3,OB=OD=5, ∵AB=4,∴AB2+AO2=OB2, ∴△ABO是直角三角形,且∠OAB=90°,即AB⊥AC, ∴平行四边形ABCD的面积为AB·AC=4×6=24. 4.证明　∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∴AO=OC,AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO,又∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF. [变式]证明　∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵AE=CF,∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF, 在△DOE和△BOF中, ∴△DOE≌△BOF(SAS),∴DE=BF. 能力提