2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：利用“两点之间，线段最短”求最值

利用“两点之间，线段最短”求最值 类型一　一动两定（“一线两点”型） （一） 线段和最小值问题 模型解读： 1. 两点在一条直线异侧 如图①，点A，B在直线l两侧，直线l上有一动点P，求PA＋PB的最小值. 如图②，连接AB，与直线l交于点P，此时PA＋PB有最小值，最小值为AB的长. 2. 两点在一条直线同侧 如图③，点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P，求PA＋PB的最小值. 如图④，作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，与直线l交于点P，此时PA＋PB有最小值，最小值为AB1的长. 典例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC面积的一半，则当PB＋PC最小时，∠PBC的度数为（　B　） 典例1图 B A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 典例2 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点P在AC上运动，以CE为边向外作正方形CEGF，连接PD，PG.若BC＝2，则PD＋PG的最小值为 　　⁠. 典例2图 　 （二） 线段差最大值问题 模型解读： 1. 两点在一条直线异侧 如图①，点A，B在直线l两侧，直线l上有一动点P，求｜PA－PB｜的最大值. 如图②，作点B关于直线l的对称点B1，直线AB1与直线l交于点P，此时｜PA－PB｜有最大值，最大值为AB1的长. 2. 两点在一条直线同侧 如图③，点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P，求｜PA－PB｜的最大值. 如图④，作直线AB与直线l交于点P，此时｜PA－PB｜有最大值，最大值为AB的长. 典例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，△BMC的周长是20.若点P在直线MN上，则PA－PB的最大值为 　8　⁠. 典例3图 8　 典例4 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，连接PM，PO，求PM－PO的最大值. 典例4图 解：∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD∥BC，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3.∵ MD＝1，∴ AM＝3.如图，连接MO并延长，交BC于点P，则此时PM－PO有最大值，最大值为OM的长.∵ AM∥CP，∴ ∠MAO＝∠PCO.∵ O是AC的中点，∴ AO＝CO.又∵ ∠AOM＝∠COP， ∴ △AOM≌△COP.∴ AM＝CP＝3，OM＝OP.∴ PB＝1.过点M作MN⊥BC于点N，则易得四边形MNCD是矩形.∴ MN＝CD＝3，CN＝MD＝1.∴ PN＝4－1－1＝2.∴ MP＝＝.∴ OM＝.∴ PM－PO的最大值为. 类型二　两动一定（“一点两线”型） 模型解读：如图①，点P在∠AOB的内部，M为OA上一动点，N为OB上一动点，求△PMN周长的最小值. 如图②，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，与OA，OB的交点分别为M，N，此时△PMN周长的最小值为P1P2的长. 典例5 如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，M，N分别是射线OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（　B　） 典例5图 B A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 典例6 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，AB＝1，AD＝2，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，求△AMN周长的最小值. 典例6图 解：如图，作点A关于BC，CD的对称点A'，A″，连接A'A″，交BC于点M，交CD于点N，则易得A'A″的长即为△AMN周长的最小值.过点A'作A'H⊥DA，交DA的延长线于点H.由作图，可知 AA'＝2AB＝2，AA″＝2AD＝4.∵ ∠BAD＝120°，∴ ∠HAA'＝60°.∵ A'H⊥HA，即∠H＝90°，∴ ∠AA'H＝30°.∴ AH＝AA'＝1.∴ A'H＝＝，A″H＝1＋4＝5.∴ A'A″＝＝2.∴ △AMN周长的最小值为2. 1. 如图，河道l的同侧有M，N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M，N两个村庄.下列四个方案中，管道总长度最短的是（　B　） 第1题 A B B 1 2 3 4 5 6 7 C D 强化训练 2. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，P是正方形内一动点，满足S△PAB＝S正方形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和，即PA＋PB的最小值为（　B　） A. 8 B. 10 C. 6 D. 8 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 3. （2022·赤峰）如图，在菱形ABCD中，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ABC＝120°，点A的坐标为（－3，0），E是CD的中点，P是OC上的一动点，则PD＋PE的最