2024年九年级数学中考一轮复习考点突破课件：等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形 等腰三角形与直角三角形 知识梳理 等腰三角形与直角三角形 111 111 111 111 111 等腰三角形与直角三角形 考点一　等腰三角形的性质与判定 典例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B的度数是 　54°　⁠. 典例1图 54°　 考点突破 典例2 （2023·苏州一模）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线分别交AB，AC于点M，N，且MN∥BC.求证：MN＝BM＋CN. 典例2图 解：∵ ∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴ ∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB.∵ MN∥BC，∴ ∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB. ∴ ∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN. ∴ BM＝MO，ON＝CN.∴ MN＝MO＋ON＝BM＋CN. [方法归纳] 证明三角形两边相等的一般方法 （1） 通过等角对等边得到两边相等；（2） 通过三角形全等得到两边相等；（3） 利用垂直平分线的性质得到两边相等；（4） 通过等量代换得到，即若a＝b，b＝c，则a＝c. 考点二　等边三角形的性质与判定 典例3 （2023·苏州高新二模）如图，a∥b，△ABC为等边三角形.若∠1＝45°，则∠2的度数为（　A　） 典例3图 A. 105° B. 120° C. 75° D. 45° A 典例4 如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，连接AN交MC于点E，连接BM交CN于点F，连接EF.求证： 典例4图 （1） AN＝MB； 解：（1） ∵ △ACM，△CBN都是等边三角形， ∴ AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°. ∴ ∠ACM＋∠MCN＝∠NCB＋∠MCN，即∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中， ∴ △ACN≌△MCB.∴ AN＝MB.　 （2） △CEF为等边三角形. 解：（2） ∵ △ACN≌△MCB， ∴ ∠CAN＝∠CMB.又∵∠MCF＝180°－∠ACM－∠NCB＝180°－60°－60°＝60°， ∴ ∠MCF＝∠ACE.在△CAE和△CMF中，∴ △CAE≌△CMF. ∴ CE＝CF.又∵∠ECF＝60°，∴ △CEF为等边三角形. 考点三　直角三角形的性质 典例5 如图，∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN.若MN＝3，则CM的长为（　D　） 典例5图 D A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 典例6 （2023·镇江二模）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M，N分别是AC，BD的中点.如果AC＝10，那么MN＝ 　　⁠.　 典例6图 　 考点四　勾股定理及其应用 典例7 （2023·扬州）我国古代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b－a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 　96　⁠.　 96　 典例7图 1. （2023·南京秦淮一模）在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（　C　） A. a＋b＞c B. a＋b＜2c C. ＋＜ D. a2＋b2＝c2 C 1 2 3 4 5 课堂练习 2. （2023·南京三模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD.若∠B＝50°，则∠CAD的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 第2题 B 1 2 3 4 5 3. 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线.若CD＝2，则AB＝ 　4　⁠. 第3题 4. （2022·无锡）已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝，则AC＝ 　2　⁠. 4　 2　 1 2 3 4 5 5. （2023·盐城建湖一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，BD＝AB. 第5题 1 2 3 4 5 解：（1） ∵ AB＝AC，BD＝AB，∴ ∠ABC＝∠C，∠A＝∠ADB. ∵ ∠ADB是△BCD的外角，∴ ∠ADB＝∠CBD＋∠C.∴ ∠A＝∠CBD＋∠C＝30°＋∠C.∵ ∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－2∠C，∴ 180°－2∠C＝30°＋∠C.∴ ∠C＝50°.∴ ∠ABC＝50°.∴ ∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝20°　 （1） 若∠CBD＝30°，求∠ABD的度数； 第5题 1 2 3 4 5 （2） 过点B作BN⊥AC于点N.∵ AB＝BD，BN⊥AC，∴ AN＝DN＝AD，∠ANB＝∠BNC＝90°.∵ AB＝A