2024年全国高中数学联赛模拟练习（一试）

2024年高中数学联赛模拟练习（一试）含答案 本试卷共2页，满分120分，答题时间80分钟。 姓名：_______________ 成绩：_______________ 一 填空题（每小题8分，满分64分） 1 设集合满足，，则这样的的个数为________． 2 在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是________． 3 设，函数满足对任意都成立，则的最大值为________． 4 为双曲线右支上一点，点、分别在曲线和上，则的最大值为________． 5 已知向量，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为________． 6 甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为________． 7 若是棱长为的正四面体内一点，以在四面体的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为________． 8 一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是________． 二 解答题（满分56分） 9（本题满分16分） 已知复数列满足： 求． 10（本题满分20分） 设非负实数满足.求 的最大值和最小值. 11（本题满分20分） 已知点，、两点分别在轴、轴上运动，且满足，． （1）求的轨迹方程； （2）若一正方形的三个顶点在点的轨迹上，求其面积的最小值． 参考答案 一 填空题 1. 30 2. 3. 4. 9 5. 6. 7. 8. 二 解答题 9. ，解答如下： 设，其中，则有，，当时， 整理， 所以 得 故. 10. 最大值为，最小值为，解答如下： 令 先考虑最大值：由柯西不等式， 当时不等式取等号. 接着考虑最小值：不妨设，则， 因为对非负实数有，所以 令， 所以，当时取等号. 11.（1），（2），解答如下： （1）设点，因为，且点在轴上，所以， 又，则，，由，故点在上运动. （2）设该正方形为其在上的三个顶点为、、，不妨设，在轴的下方（包括轴），且，则 设直线的斜率为，则 代入，，，得，，又，所以 将，用表示，得 易知，，，所以 即最小值为，当时取等. 一试模拟 第 2 页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$