2.1 一元二次方程 讲义 2022-2023学年浙教版八年级数学下册

一元二次方程 阅读材料【节选自——《不焦虑的数学：孩子怎么学，家长怎么教》】 初中数学里有四个“二次”：一元二次多项式、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数。这四个里最重要的就是二次函数，不过一元二次方程是基础，也很重要。除了初中数学以外，高考对这块内容也是青睐有加，无论是解析几何还是函数的大题，几乎都能看见一元二次方程的影子。 在讨论因式分解的时候，专门拿出了相当大的篇幅讲求根法，其实就是解一元二次方程，整个过程可以参见因式分解求根法的内容。也就是说： 等价于 这个时候，方程就转化成两个一元一次方程，我们马上可以解得一元二次方程的根为 是不是很合情合理？看起来是的。面对我这种措辞，有经验的读者心里开始打鼓了：完了，十有八九出幺蛾子了。整个配方过程看起来无懈可击，其实还是不够严格。问题出在哪里？回忆一下一元一次方程的解法，当时我们在讨论一元一次方程的解的时候，专门为一次项的系数是否为 0 讨论了半天。同理，如果一元二次方程的二次项系数为 0 了，那么还能称为一元二次方程吗？所以一元二次方程的前提条件就是。 出题老师最喜欢以这样的方式来坑学生：“已知方程，等等。”对啊，人家说的是方程，但有没有说是一元二次方程呢？很多学生会在这个地方直接掉进坑里。而一元二次方程的二次项系数就是数学中一个非常好的埋雷点。 作为方程和作为多项式的一元二次的研究重点显然是不一样的，对于方程，我们更关心的是它的解是否存在、有几个。 由于二次根式必须保证根号里面的内容非负，所以如果，方程就无实数解了；如果 ，此时方程有两个相等的根，即；而当时，方程才有两个不同的实数根。 一元二次方程的求根公式面目可憎，因为它带着根号。从运算习惯来说，我们讨厌除法、减法和根号，这都和我们的运算习惯相关。于是，大家很自然会提出一个问题：“如果方程已经有两个实数根了，那么什么时候这两个根不带根号？” 仍然是在因式分解的学习中，我们曾得到过这样的结论：若 是完全平方数，方程就有两个有理根（等同于一元二次多项式在有理系数内的因式分解）。 你现在有没有觉得因式分解有用了？任何数学考试，除非是因式分解这一章节的单元测验，都不会单考你因式分解。但是，这玩意儿如同鬼魅一般如影随形，几乎能在任何代数相关知识里插上一脚。 人们给 起了个名字叫“根的判别式”，并且用希腊字母表示，即。依靠它，我们就知道一元二次方程有没有实根、有几个实根，甚至于有没有有理根——而这一切，都不需要解方程。正因为判别式如此管用，所以它就是一元二次方程最核心的部分，换而言之，碰到涉及一元二次方程的题目，多考虑考虑判别式，总是好的。 一元二次方程的定义 如图，是浙教版课本中给出的一元二次方程的相关定义 要点辨析 一元二次方程，首先就要满足方程的定义：含有未知数的等式 其中要注意等式的两边都是整式，这一点注意与分式方程等其他形式的方程相互混淆。 只含有一个未知数：注意与二元方程之间不要混淆 最高次数是两次。 巩固练习1 下列方程中，一元二次方程共有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+6＝0；③x243；④x2﹣3x＝4；⑤x232＝0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是________________ 　 方程（3x+1）（3x-1）＝2化为一般形式是__________________；其中二次项系数是_________ 若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（　　） A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定 已知m是方程x2﹣4x﹣3＝0的根，则代数式1+8m﹣2m2的值为_________ 若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 已知关于x的方程（x﹣3）2＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 开方法 如图，是浙教版课本中给出的开方法的相关说明 巩固练习2 解方程，并说明下列方程的共性，适用什么样的方法 （1）x2＝16； （2）9x2﹣25＝0 （3）； （4） （5）9（2x﹣1）2﹣49＝0 （6） （7） （8） 配方法 如图，是浙教版课本中给出的配方法的相关说明，配方法一个重点在于利用配方求，在应用题以及后续将会学习到的二次函数中是重中之重。 巩固练习2 把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（ ） A． B． C． D． 用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（ ） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D． 比较上面两道题目的不同点，请完成的配方的详细过程。 我们知道“a2≥0