专题03 垂径定理重难点题型专训（8大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 垂径定理重难点题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 利用垂径定理求值 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 题型四 利用垂径定理求解其他问题 题型五 垂径定理的推论 题型六 垂径定理的实际应用 题型七 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【知识梳理】 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 （3）垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 利用垂径定理求值】 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2023上·江苏常州·九年级校考期中）如图，的半径弦于点是上一点，的最大值为9，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023上·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，点是的中点，且，则 ． 4．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，是的高，以O为圆心的两个同心圆，小圆经过点A，D，大圆经过点B，C，若小圆半径为6，大圆半径为10，则 ． 5．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，弧弧，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，若，，求的长． 【经典例题二 利用垂径定理求平行弦问题】 1．（2023上·黑龙江绥化·九年级校考阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与C