专题02 直线和圆的方程-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题02 直线和圆的方程 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 7 【重点保分一】直线的倾斜角与斜率 7 【重点保分二】直线的平行与垂直 8 【重点保分三】直线的方程 9 【重点保分四】直线的交点坐标与两点间距离 10 【重点保分五】点到直线的距离 11 【重点保分六】圆的方程 12 【难点增分】 13 【难点增分一】直线与圆位置关系 13 【难点增分二】圆与圆的位置关系 14 【难点增分三】直线、圆的实际应用 15 【培优满分】 17 【培优满分一】直线与圆、圆圆综合问题 17 【培优满分二】隐圆问题 18 【技巧总结】 19 【单元检测】 24 知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 2.直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 3.两条不重合直线平行的判定 两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 在平面直角坐标系中，l1∥l2的充要条件是它们的倾斜角α1与α2相等.两条不重合直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件.当l1，l2与x轴垂直时，l1∥l2，但它们的斜率都不存在. 4.两直线垂直的判定 两条直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 5.直线的点斜式方程 直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 6.直线的斜截式方程 直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 7.直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 8.直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程.直线的一般式方程 9.直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 10.两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 11.两直线的位置关系的判断 方程解的个数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 12.直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 13.两点间的距离公式 两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 14.坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代