专题12 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题12 圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1.米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。 【模型证明】 如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。 在三角形AC’D中， 又 【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023·广东湛江·中考模拟）如图，海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°．为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 例2．（2023·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．（1）点M的纵坐标为 ；（2）当最大时，点P的坐标为 ． 例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝ ． 例4．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角． 问题探究： （1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有． 小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则 ∵___________ ∴___________ ∴ （2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由． 问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米． 问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．） 例5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、两点(在的左侧)，与轴交于点，，点的坐标为．    (1)求、、的坐标及的值；(2)直线经过点，与抛物线交于、，若，求直线的解析式；(3)过点作直线，为直线上的一动点．是否存在点，使的值最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 模型2. 定角定高模型（探照灯模型） 定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。 条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。 结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。 证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC， 过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。 ∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcosa≥h， .当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin； △ABC的周长最小:2