专题09 函数有关的新定义问题-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

专题09 例析与函数有关的新定义问题 与函数有关的新定义问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题；所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数；函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题；以此，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力； 1、函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题； 2、解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养； 题型1、给出函数的新定义 例1、（1）设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p， 定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”；若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是（ ） A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1)) C．fp(fp(2))＝f(f(2)) D．fp(fp(3))＝f(f(3)) （2）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的命题的序号是 ①y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0) ②y＝x＋ ③y＝－log3x ④y＝ 题型2、给出函数的新规则 例2、（1）已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为（ ） A．(0，2] B．[0，2] C．(0，2) D．(－2，2) （2）已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数．下列函数为F函数的序号是 ①f(x)＝x2 ②f(x)＝sin x＋cos x ③f(x)＝ ④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2| 题型3、给出函数的新性质 例3、（1）定义新运算“”与性质：当m≥n时，mn＝m；当m<n时，mn＝n2.设函数f(x)＝(2x)x－(4x)，x∈[1，4]，则函数f(x)的值域为________． （2）具有性质：f＝－f(x)的函数f(x)我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号). 题型4、给出函数的图像特征 例4、（1）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n为正整数)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数： ①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝；④φ(x)＝ln x. 其中是一阶整点函数的序号是(　 　) A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④ （2）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是_______. 题型5、与高斯函数相关 例5、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的值域是[0,1] C．f(x)在(0,1)上单调递增 D．对于任意的x∈R，[f(x)]＝0 题型6、与狄利克雷函数相关 例6、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为{0,1} B．f(x)的值域为[0,1] C．存在x∈R，f(f(x))＝0 D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 题型7、与黎曼函数相关 例7、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数