专题07 函数图像的作法及其应用-2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

专题07 函数图像的作法及其应用 函数的图像与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图像的识别与应用以及函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用；命题规律：高考对函数图像的考查，通常涉及函数的奇偶性、单调性等，考查考生灵活应用知识、分析函数图像与性质的能力，体现了对知识侧重于理解和应用的考查的要求；教材相关 一、教材相关 第5章 函数的概念、性质及应用【课本目录】 5.1.2 函数的表示方法； 本章内容提要 1. 函数的概念： （3）函数的图像是表示函数性质的直观而又形象的工具； 2. 函数的性质： （1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数； 函数的奇、偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性； （3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标； 3. 函数的应用： （2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段； （3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解； 二、对教材的理解 1、作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换； 描点法 ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）. 图像变换法 （1）平移变换 ①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的； ②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的； ③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的； ④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的； （2）对称变换 ①函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有 或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点 横坐标为，即为常数）； 若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有 ③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示 ④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）. 注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换. ⑤函数与的图像关于对称； 2、函数图像的应用 主要体现为数形结合；利用函数图像可以判断函数的单调性、奇偶性等图像的特点；借助于函数图像的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图像在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图像，再观察； 提醒：图像平移与整体放缩不改变图像的对称性，求解较复杂函数图像的对称点或对称轴时可先平移； 题型1、函数图像的作法 例1 、作出下列函数的图像并求出其值域． （1）y＝2x＋1，x∈[0，2]； （2）y＝，x∈[2，＋∞)； （3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]； （4）y＝x＋2|x|≤3； （5）y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2； 【说明】作函数图像的基本步骤： 列表：取自变量的若干个数，求出相应的函数值； 描点：在平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线将描好点连接起来，得到函数的图像； 题型2、结合图像变换作函数图像 例2 、（1）若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为（ ） A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D （2）作出下列函数的大致图像： ①；②)；③． 题型3、由函数解析式识别函数图像 例3 、（1）函数f(x)＝x·ln |x|的图像可能是（ ） （2）函数y＝的图像大致为（ ） 【说明】由解析式确定函数图像的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图像； 题型4、会根据实际问题“建模”作函数图像 例4、（1）直角梯形如图，直线左边截得面积的图像大致是（ ） A．B． C． D． （2）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点；用