专题18三角形的内切圆（2个知识点5种题型1个易错点）【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题18三角形的内切圆（2个知识点5种题型1个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.三角形内切圆的相关概念及性质（重点） 知识点2.三角形内切圆的作法 【方法二】 实例探索法 题型1.利用三角形的内切圆求角的度数 题型2.利用三角形的内切圆求线段的长度 题型3.利用三角形的内切圆进行证明 题型4.三角形的内切圆与切线长定理的综合 题型5.阅读理解题 【方法三】差异对比法 易错点：混淆三角形的外心与内心的概念 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1. 理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形等概念。 2. 会用尺规作三角形的内切圆。 3. 掌握三角形内切圆的性质并利用其性质进行推理或计算。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.三角形内切圆的相关概念及性质（重点） 1. 概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2. 性质：三角形的内心到三角形的三边距离相等 【例1】（2023·山东滨州·九年级期中）是直角三角形，，，，则的内切圆半径 ． 【变式】直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为 ． 知识点2.三角形内切圆的作法 利用角平分线上的点到两边的距离相等这一性质来作图， 第一步：作出三角形ABC三个角的角平分线，相交于点O（作出两个角的角平分线即可）； 第二步：过点O做边BC的垂线，交BC于点E； 第三步：以点O为圆心，OE为半径，作出的圆O即为△ABC的内切圆。 【例2】（2023·江苏徐州·九年级校考阶段练习）尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 【变式】（2023·江苏连云港·九年级统考期中）按着要求画图．               (1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的项点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在图2中，找出的圆心． ②在图2中的边上找到一点，使得平分； ③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得． 【方法二】实例探索法 题型1.利用三角形的内切圆求角的度数 1．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 题型2.利用三角形的内切圆求线段的长度 2．（2023·湖北荆门·九年级校考期中）如图，内接于，，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 题型3.利用三角形的内切圆进行证明 3．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，点I是的内心，的延长线与的外接圆交于点D，与交于点E，延长、相交于点F，的平分线交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型4.三角形的内切圆与切线长定理的综合 4.结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答. 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积. 解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为. 根据切线长定理，得，，. 根据勾股定理，得. 整理，得. 所以 . 小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索. 已知：的内切圆与相切于点，，. 可以一般化吗？ （1）若，求证：的面积等于. 倒过来思考呢？ （2）若，求证.改变一下条件…… （3）若，用、表示的面积. 题型5.阅读理解题 5．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）先阅读材料，再解答问题： 小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为上的点，则有．小明还发现，若点E在外，且与点D在直线同侧，则有． 请你参考小明得出的结论，解答下列问题：    问题：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)在图2中作出的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标； (2)点P为x轴正半轴上的一个动点，连接、，当达到最大时，直接写出此时点P的坐标． 【方法三】差异对比法 易错点：混淆三角形的外心与内心的概念 1．（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，内接于为直径，I是的内心，的延长线交于点D． (1)求证：； (2)连结，，若，求的长． 【方法四】 成果评定法 一、单选题 1．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切