专题15圆的基本性质（8个知识点8种题型2个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

专题15圆的基本性质（8个知识点8种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.圆的概念及特征 知识点2.点与圆的位置关系 知识点3.与圆相关的概念 知识点4.圆的对称性 知识点5.垂径定理及其逆定理 知识点6.确定圆的条件 知识点7.三角形的外接圆 知识点8.反证法 【方法二】 实例探索法 题型1.点与圆位置关系的运用 题型2.证明点共圆 题型3.求圆中角的度数 题型4.垂径定理的应用 题型5.按要求作圆 题型6.与三角形外接圆有关的问题 题型7.复原破损的圆片 题型8.圆中的动点问题 【方法三】差异对比法 易错点1.在解题过程中，忽略了点与圆的多种位置关系 易错点2.不能正确理解圆心角、弧、弦之间的关系 【方法四】 成果评定法 【学习目标】 1.了解圆的两种定 义、与圆有关的概念、圓的轴对称性和旋转对称性;掌握同圆或等圆的半径相等的性质. 2.探索并了解点和圆的位置关系 3.探究并掌握垂径定理及其推论和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论。 4.了解三角形的外接圆、外心的概念及性质;明确不在同一条直线上的三点确定一个圆;会画三角形的外接圆。 5.了解反证法的基本思路和一般步骤,能利用反证法证明简单的命题． 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.圆的概念及特征 1. 定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 2. 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 【例1】（2023·河北沧州·九年级校考期中）如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 知识点2.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内，d=r点在圆上，d＞r点在圆外。 【例2】（2023·浙江湖州·九年级长兴县古城中学校联考阶段练习）已知的半径为4，若点是所在平面内的一点，且，则点与的位置关系为（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．以上都不对 知识点3.与圆相关的概念 与圆有关的概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦. （2）直径：经过圆心的弦叫做直径. （3） 弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.用符号“⌒”表示.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. （4）等圆、同心圆:能够互相重合的两个圆叫做等圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆. （5）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （6）等弧：能够互相重合的弧叫做等弧.    【例3】（2023·福建厦门·九年级校考期中）下列说法中，错误的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．能够互相重合的弧叫做等弧. C．能够互相重合的两个圆叫做等圆 D．连接圆上任意两点的线段叫做弦. 知识点4.圆的对称性 1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【例4】（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）下列图形中对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．矩形 C．圆 D．菱形 知识点5.垂径定理及其逆定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 2. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 【例5】（2023·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）如图,AB是半圆的直径,EF为⊙O的弦,为内一点,,,若点为弦的中点,连接QC．甲和乙分别得出一个结论:甲．;乙．．甲和乙所得结论正确的是（　　）． A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都不正确 知识点6.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【例6】（2024·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）下列事件为随机事件的是（    ） A．经过任意三点画一个圆 B．直径是圆中最长的弦 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 知识点7.三角形的外接圆 与三角形的外接圆相关的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做圆的内接三角形. 【例7】（2023·河北邯郸