专题01 有理数-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（苏科版）

专题01 有理数 核心考点聚焦 1、认识正、负数；了解正反意义的量；结合实际理解正负数的应用； 2、了解“0”的意义；学会对有理数与无理数进行分类； 3、学会用数轴表示有理数并比较大小；了解数轴之间点的距离，并探究动点问题； 4、认识绝对值与相反数，运用绝对值的性质化简绝对值；利用相反数与绝对值的定义比较有理数大小； 5、熟练计算有理数加减乘除四则运算，熟练计算含乘方的有理数混合运算； 6、认识倒数的意义，学会科学记数法的写法，读懂算法程序。 一、有理数与无理数 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 注：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 2．无理数： 叫做无理数． 注：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． 　 （2）目前常见的无理数有两种形式：① ．② ，如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）． 3.数轴：规定了 、 和 的直线． 注：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 注：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 5．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是 ． 二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 注：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律： （1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1） ；（2） ：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) ．（4） ；（5) ． 四、科学记数法 把一个大于10的数表示成 的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点剖析 例1：若元表示盈利500元，那么元表示（） A．收入500元 B．盈利200元 C．亏损200元 D．支出200元 变式1-1：某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），