3.2 第一课时 方程的根与函数的零点-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

3.2　函数与方程、不等式之间的关系 第一课时　方程的根与函数的零点 学习目标 1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.会求函数的零点.借助函数零点概念的理解,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握函数与方程、不等式之间的关系,并会用函数零点法求不等式的解集.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习,培养逻辑推理的核心素养,利用零点法求不等式的解集,提升数学运算的核心素养. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数的零点 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称 α为函数y=f(x)的零点,α是函数f(x)零点的充分必要条件是,(α,0)是函数图像与x轴的公共点. 思考1:函数的零点是一个点吗?任何函数都有零点吗? 答案:不是,函数的零点是一个实数,是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标,不是一个点;不是,如果函数的图像与x轴没有交点,则函数就没有零点,如函数 f(x)=就没有零点. 思考2:设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的零点与函数y=f(x),y=g(x)有何关系? 答案:F(x)的零点是函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点的横坐标. 2.二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 设f(x)=ax2+bx+c,方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程 ax2+ bx+c=0 (a>0) 的根 有两个不 等的实根 有两个相 等的实根 没有实根 函数 y=f(x) 的图像 及零点 有两个零点 有一个零点 无零点 f(x)>0 的解集 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠-} R f(x)<0 的解集 {x|x1< x<x2} 思考3:二次函数f(x)=ax2+bx+c中,二次项系数a<0时,怎样求不等式f(x)>0的解集? 答案:对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解;也可以画出二次项系数为负数时的函数图像,再求解. 3.函数零点的性质 (1)当函数图像通过零点,且穿过x轴时,函数值变号. (2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. (1)函数的零点、方程的根、函数图像与x轴的交点的横坐标,实质是同一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个数,亦即该函数的图像与x轴交点的个数. (2)函数的对称性与函数零点之和 已知x0为函数f(x)的零点. ①若函数f(x)为奇函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故奇函数的所有零点之和为0. ②若函数f(x)为偶函数,则-x0也为函数f(x)的零点,故偶函数的所有零点之和为0. ③若函数f(x)的图像关于直线x=b对称,则2b-x0也为函数f(x)的零点,若该函数有2n个零点,则该函数所有零点之和为2nb. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　函数的零点 [例1] 求下列函数的零点. (1)f(x)= (2)f(x)=x3-2x2-x+2. 解:(1)法一　(代数法)由x+1=0知x=-1,但-1∉[0,+∞),故当x≥0时,函数f(x)无零点;由x-1=0知x=1,但1∉(-∞,0), 故当x<0时,函数f(x)无零点. 综上,函数f(x)=没有零点. 法二　(几何法)画出函数y=f(x)=的图像,如图所示. 因为函数图像与x轴没有交点, 所以函数f(x)=没有零点. (2)令x3-2x2-x+2=0,得x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x+1)(x-1)=0, 解得x=-1或x=1或x=2, 所以函数f(x)有3个零点,分别为-1,1,2. 求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 针对训练:求下列函数的零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=. 解:(1)令-8x2+7x+1=0, 解得x=-或x=1. 所以函数的零点为-和1. (2)f(x)==, 令=0,解得x=-6. 所以函数的零点为-6. [备用例1] 设函数f(x)=又g(x)=f(x)-1,则函数g(x)的零点是(　　) A.1 B.± C.1,- D.1, 解析:当x≥0时,g(x)=f(x)-1=2x-2, 令g(x)=0,得x=1; 当x<0时,g(x)=x2-4-1=x2-5, 令g(x)=0,得x=±(正值舍去), 所以x=-,所以g(x)的零点为1,-. 故选C. 　函数零点个数的判断 [例2] 判断下列函数零点的个数. (