3.1.3 函数的奇偶性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

3.1.3　函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.借助函数奇偶性的判断与证明方法,培养数学运算与逻辑推理的核心素养. 2.了解奇(偶)函数的图像的对称性,掌握函数奇偶性的简单应用.借助奇(偶)函数的图像特征,培养直观想象的核心素养. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.奇函数、偶函数的定义 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D 条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 结论 f(x)是奇函数 f(x)是偶函数 思考1:从奇(偶)函数的定义来考虑,若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x,它的相反数-x也在定义域内吗?由此得到什么结论?y=x2,x∈[-1,1)是偶函数吗? 答案:在函数的定义域内,奇(偶)函数的定义域是关于原点对称的.y=x2,x∈[-1,1)不是偶函数,原因是f(1)不存在. 思考2:函数y=f(x)在x=0处有定义,且f(0)=0,则f(x)一定是奇函数吗? 答案:不一定,如f(x)=x2,满足f(0)=0,但它是偶函数. 2.奇函数、偶函数的图像特征 (1)奇函数⇔图像是以原点为对称中心的中心对称图形. (2)偶函数⇔图像是以y轴为对称轴的轴对称图形. (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.既是奇函数又是偶函数的函数为f(x)=0,其定义域关于原点对称. (2)若奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0;f(x)为偶函数,则f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论. (3)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. (4)区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称. ①若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M. ②若f(x)为奇函数,f(x)+2在[a,b]上有最大值M,则f(x)+2在[-b,-a]上有最小值-M+4. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　函数奇偶性的判断 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=+; (2)f(x)=+; (3)f(x)= 解:(1)由得x=±1, 所以f(x)的定义域为{-1,1}. 又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即f(x)=±f(-x), 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)因为函数f(x)=+的定义域为,不关于坐标原点对称, 所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当x>0时,f(x)=x2+x, 则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x).故原函数是偶函数. 函数奇偶性的判定方法 (1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域,则该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的对称区域,再判断f(-x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(-x)是否等于零或判断是否等于±1等. 用定义判断函数奇偶性的一般步骤: ①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称. ②用-x代x,验证是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x), 若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数; 若f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图像法: ①若f(x)图像关于原点对称,则f(x)是奇函数. ②若f(x)图像关于y轴对称,则f(x)是偶函数. ③若f(x)图像既关于原点对称,又关于y轴对称,则f(x)既是奇函数,又是偶函数. ④若f(x)的图像既不关于原点对称,又不关于y轴对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 针对训练:(1)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是(　　) ①f(x)=x2;②f(x)=x3;③f(x)=;④f(x)=. A.1,1 B.2,2 C.3,1 D.2,1 (2)判断函数f(x)=的奇偶性. (1)解析:①定义域为R,且f(-x)=(-x)2=x2=f(x),为偶函数;②定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),为奇函数;③定义域为(-1,1],