3.1.2 第一课时 函数单调性的定义、判断及简单应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

3.1.2　函数的单调性 第一课时　函数单调性的定义、判断及简单应用 学习目标 1.理解并掌握增(减)函数的定义及其几何意义.会用单调性的定义证明函数的单调性.会求函数的单调区间.借助单调性的证明,提升学生的逻辑推理素养.利用求函数的单调区间培养学生的直观想象和数学运算的核心素养. 2.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率,掌握平均变化率法判断函数的单调性.培养学生的直观想象和数学运算的核心素养. 1.增、减函数的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,且I⊆D: (1)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增),如图(1)所示; (2)如果对任意x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减),如图(2)所示. 两种情况下,都称函数在I上具有单调性(当I为区间时,称I为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 思考1:关于函数单调性的定义要注意哪些问题? 答案:(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域内的不同区间上可以有不同的单调性. (2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1,x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1<x2;三是属于同一个单调区间. (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推,即f(x)是增(减)函数,且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2). 思考2:利用定义证明函数的单调性时,常用哪些变形技巧? 答案:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3. (2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解. (3)配方.当所得的差式含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 思考3:函数的单调区间应该如何书写,区间之间可以取并集吗? 答案:(1)若函数的单调递增(或减)区间有多个,区间之间不能用“∪”连接,可以用“,”“和”等来连接两个区间. (2)区间端点的书写,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但是对于某些点无意义时,即不在定义域范围内的点,单调区间就不包括这些点,只能用开区间. 2.函数的平均变化率 (1)定义 一般地,若I是函数y=f(x)的定义域的子集,对任意x1,x2∈I且x1≠x2记y1=f(x1),y2=f(x2),称=(即=)为函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均变化率. (2)平均变化率与单调性的关系 ①y=f(x)在I上是增函数的充要条件是>0在I上恒成立,如图(1); ②y=f(x)在I上是减函数的充要条件是<0在I上恒成立,如图(2). 思考4:函数的平均变化率是固定不变的吗? 答案:不一定.当x1取定值后,Δx取不同的数值时,函数的平均变化率不一定相同;当Δx取定值后,x1取不同的数值时,函数的平均变化率也不一定相同.比如,f(x)=x2在区间[0,2]和[2,4]上都有Δx=2,但Δy分别为4-0=4和16-4=12. 事实上,根据下面将要学习的平均变化率的几何意义可知,曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等,即一般情况下函数的平均变化率是不相同的. 思考5:如果=0在I上恒成立,那么函数f(x)有什么特点? 答案:函数f(x)是常数函数. (1)与单调性判断的等价结论 在x∈D上,f(x)是增函数,x1,x2∈D,且x1≠x2⇔(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0. 在x∈D上,f(x)是减函数,x1,x2∈D,且x1≠x2⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔<0. (2)判断函数单调性的常用方法 ①定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符号→下结论”进行判断. ②根据平均变化率的变化判断. ③图像法.根据函数图像的升、降情况进行判断. ④直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出. ⑤根据一些常用结论推理判断. 　函数单调性的判断与证明 [例1] 证明函数y=在(-1,+∞)上是减函数. 证明:法一　记y=f(x),任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2, 那么f(x1)-f(x2)=- =, 因为-1<