3.1.2 第二课时 复合、抽象函数的单调性及函数最值-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

第二课时　复合、抽象函数的单调性及函数最值 学习目标 1.了解抽象函数与复合函数的单调性,通过学习抽象函数与复合函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.理解函数的最大值和最小值的概念与几何意义.掌握函数最值的求解方法.通过求解函数的最值,培养数学运算与逻辑推理的核心素养. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.复合函数单调性的判断 如果函数y=f(u)的定义域为A,函数u=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C⊆A时,称函数y=f(g(x))为 f(u) 与g(x)在D上的复合函数,其中u叫中间变量,u=g(x)叫内层函数,y=f(u)叫外层函数. 复合法则列表如下: u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 助记法则:同增异减(即内外层函数的单调性相同时单调递增;相异时单调递减). 思考1:以y=f(g(x))为例,如何讨论复合函数的单调性? 答案:(1)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x); (2)分别确定各个函数的定义域; (3)分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间. 2.抽象函数的单调性 没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数. 判断抽象函数的单调性,一是“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出单调性的结论;二是赋值法,根据条件等式给变量赋值,反复利用已知等式,达到判号的目的. 3.函数的最值 一般地,设函数f(x)的定义域为D,且x0∈D:如果对任意x∈D,都有f(x)≤f(x0),则称f(x)的最大值为 f(x0)(记作f(x)max=f(x0)),而x0称为f(x)的最大值点;如果对任意x∈D,都有f(x)≥f(x0),则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min=f(x0)),而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值,最大值点和最小值点统称为最值点. 判断最值的两个条件: (1)对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))成立; (2)f(x0)是一个函数值,它是值域的一个元素. 两个条件缺一不可,若只有前者,f(x0)不是最大(小)值,如f(x)=-x2≤1成立,但1不是最大值,更不能只有后者,那样就丢掉了最大值的核心了. 思考2:求最大(小)值时需注意哪些问题? 答案:(1)利用图像写出最值时要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. (2)单调性法求最值勿忘求定义域. (3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定要注意. (1)若函数f(x),g(x)在给定的区间上具有单调性,则 ①函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②C >0时,函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性;C<0时,函数f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. ③若f(x)≠0,则函数f(x)与具有相反的单调性. ④若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. ⑤若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)也是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x) 是减(增)函数. (2)若f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)≤f(x)≤f(b),即最大值为f(b),最小值为 f(a);若f(x)在[a,b]上单调递减,则f(b)≤f(x)≤f(a),即最大值为f(a),最小值为f(b). (3)根据函数的单调性求参数的值或取值范围问题是将含参数问题转化为恒成立问题,再转化为求函数在其定义域上的最大值、最小值问题. ①a>f(x)在[m,n]上恒成立⇔a>f(x)在[m,n]上的最大值. ②a<f(x)在[m,n]上恒成立⇔a<f(x)在[m,n]上的最小值. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　函数的最大(小)值 探究角度1　利用函数图像求最值 [例1] (1)函数f(x)在区间[-2,5]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A.-2,f(2) B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5) (2)求函数f(x)=的最值. (1)解析:由函数的图像知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).故选C. (2)解:函数f(x)的图像如图. 由图像可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 用图像法求最值的一般步骤 探究角度2　利用函数单调性求最值 [例2] 已知函数f(x)=+1. (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明; (2)求f(x)在[1, 3]上的最大(