3.1.1 第二课时 函数的表示方法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

第二课时　函数的表示方法 学习目标 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图像法、列表法.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.通过函数表示的图像法,培养直观想象素养.通过函数解析式的求法,培养数学运算素养. 2.理解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图像.通过学习分段函数的概念及其应用,培养数学抽象、数学运算、直观想象素养. 3.能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系,并能解决有关问题.利用函数解决实际问题,培养数学建模素养. 1.函数的三种表示方法 表示法 定义 列表法 通过列出自变量与对应函数值来表示两个变量之间的对应关系 图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系 解析法 用代数式或解析式表示两个变量之间的对应关系 思考1:所有的函数都能用解析法、列表法和图像法表示吗?为什么? 答案:并不是所有的函数都能用解析式表示.事实上,图像法也不适用于所有函数,如D(x)=列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段. 思考2:函数三种表示方法各有哪些优缺点? 答案: 　　　表示 　　　方法 比较　　 列表法 图像法 解析法 优点 具体,易用,不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 能直观、形象地表示函数的变化情况 一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 缺点 不够全面,只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,且有时误差较大 不够直观、形象、具体,而且并不是所有的函数都能用解析式表达出来 2.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数. 思考3:分段函数还是函数吗?它的三要素是什么? 答案:是函数; 分段函数的三要素:①定义域:每一段上x的取值范围的并集. ②值域:所有函数值组成的集合. ③对应关系:在每一段上的对应关系不同. 思考4:如何理解取整函数与常数函数? 答案: 函数 代表形式 定义域 值域 (高斯)取整函数 f(x)=[x] R Z 常数函数 f(x)=C R C(常数) 3.函数的图像 函数的图像能直观地反映出函数的一些性质,因此,解答函数问题时常常借助于图像. 思考5:作函数图像一般有哪些步骤?需要注意哪些问题? 答案:函数图像的一般步骤:列表、描点、连线.作图像时一般应先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图像. (1)函数的三种表示方法互相兼容和补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际问题中,以解析法为主. (2)分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集. (3)函数的图像可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意关键点,如图像与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈. 　函数的表示方法 [例1] 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来. 解:①列表法: x∕台 1 2 3 4 5 y∕元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x∕台 6 7 8 9 10 y∕元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图像法:如图所示. ③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. (1)函数的三种表示法的选择 解析法、图像法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系.采用解析法的前提是变量间的对应关系明确,采用图像法的前提是函数的变化规律清晰,采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少. (2)在用三种方法表示函数时要注意的问题 ①解析法必须注明函数的定义域. ②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系. ③图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”. 针对训练:(1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是(　　) (2)已知函数f(x),g(x)分别由表给出. x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为　　　　;当g(f(x))=2时,x=　　　　.  解析:(1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时