2.2.4 均值不等式及其应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.4　均值不等式及其应用 学习目标 1.掌握均值不等式,明确均值不等式成立的条件.通过不等式的证明,培养逻辑推理素养. 2.会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小.通过均值不等式形式求简单的最值问题,提升数学运算素养. 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.通过均值不等式求最值,提升数学运算素养. 4.会用均值不等式求解实际应用题.借助均值不等式在实际问题中的应用,培养数学建模素养. 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a,b都是正数,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立. 均值不等式也称为基本不等式(基本不等式中的a,b还可以为零),其实质是:两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值. 重要不等式:当a,b是任意实数时,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 思考1:均值不等式中的a,b只能是具体的某个数吗? 答案:a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. 思考2:均值不等式成立的条件“a,b>0”能省略吗?请举例说明. 答案:不能,如≥是不成立的. (1)均值不等式的变形:ab≤()2,a+b≥2(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时,等号成立). (2)均值不等式成立的条件:a>0,且b>0;其中等号成立的条件:当且仅当a=b时,取等号,即若a≠b时,则≠,即只能有<. 　利用均值不等式求最值 [例1] (1)已知m,n>0,且m+n=16,求mn的最大值; (2)已知x>3,求f(x)=x+的最小值; (3)设x>0,y>0,且2x+y=1,求+的最小值. 解:(1)因为m,n>0,且m+n=16, 所以由均值不等式可得 mn≤()2=()2=64, 当且仅当m=n=8时,mn取到最大值64. 所以mn的最大值为32. (2)因为x>3, 所以x-3>0,>0, 于是f(x)=x+=x-3++3≥2+3=7, 当且仅当x-3=,即x=5时,f(x)取到最小值7. (3)法一　因为x>0,y>0,2x+y=1, 所以+=+=3++≥3+2=3+2, 当且仅当=,即y=x时,等号成立, 解得x=1-,y=-1, 所以当x=1-,y=-1时,+有最小值3+2. 法二　+=(+)·1=(+)(2x+y)=3++≥3+2=3+2, 以下同法一. (1)利用均值不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 ①一正:符合均值不等式≥成立的前提条件a>0,b>0; ②二定:化不等式的一边为定值; ③三相等:必须存在取“=”的条件,即“=”成立. 以上三点缺一不可. (2)若是求“和”式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求“积”式的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式. 针对训练:(1)已知ab=100,且a>0,b>0,求a+b的最小值; (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值; (3)已知x>0,y>0,+=1,求x+y的最小值. 解:(1)因为ab=100,且a>0,b>0, 因此由均值不等式可得 a+b≥2=2=20, 当且仅当a=b=10时,a+b取到最小值20. (2)因为x>0,y>0,2x+3y=6, 所以xy=(2x·3y)≤·()2=×()2=, 当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值. (3)因为+=1, 所以x+y=(x+y)·(+)=1+++9=++10, 又因为x>0,y>0, 所以++10≥2+10=16, 当且仅当=,即y=3x时,等号成立. 由得 即x=4,y=12时,x+y取得最小值16. [备用例题] (1)已知正实数x,y满足2x+y+6=xy,求xy的最小值; (2)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,求x+y的最大值. 解:(1)因为2x+y+6=xy, 所以y=,x>1,xy====2(x+1++3)=2[(x-1)++5]≥2×[2+5]=18. 当且仅当x=3时,等号成立,所以xy的最小值为18. (2)因为1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2-()2,所以(x+y)2≤, 即0<x+y≤,当且仅当x=y>0,且x2+y2+xy=1,即x=y=时,等号成立,所以x+y的最大值为. 　利用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a,b,c∈R,求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 证明:由均值不等式可得 a4+b4=(a2)2+(b2)2≥2a2b2, 同理b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2, 所以(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2a2b2+2b2c2+2a2c2, 从而a4+b4+c4≥a2b2+b2c2