2.2.4均值不等式及其应用导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

学科 数学 年级 高一 时间 年 月 日 课题 2.2.4均值不等式及其应用 课型 新授课 课时 第1课时 主备教师 学习目标 1、 学会推到并掌握均值不等式，理解均值不等式的几何意义； 2、能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。 1、 知识填空 1. 算术平均值：给定两个整数a，b，数 称为a，b的算术平均值； 2. 几何平均值：给定两个正数a，b，数 称为a，b的几何平均值； 3. 均值不等式： 如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立. 2、 尝试发现 探究1、给定两个正数，数的算数平均值；数的几何平均值。两个数的算数平均值，实质上是这两个数在数轴上对应点的中点坐标，那么几何平均值有什么意义呢？两个数的算数平均值和几何平均值之间有什么大小关系呢？ 尝试完成以下问题： （1） 假设一个矩形的长和宽分别为，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小； （2） 如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算数平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算数平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义。 1 2 1 4 1 3 1 问题1.根据上面的实例，你能归纳出一个怎样的不等式？如何用文字表达？ 问题2.如何证明这个不等式成立？ 问题3.这个不等式成立的条件是什么？ 问题4.问题1的结论中，“=”何时成立？ 问题5.根据（1）说出结论的几何意义。 问题6.你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？ 探究2、如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心.已知AC=，BC=，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，给出均值不等式的另一个几何意义。 3、 拓展延伸 例1 已知x>0，求 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值。 例2已知ab>0，求证： ，并推导出等号成立的条件。 例3（教材例5）、已知a，b是实数，求证：a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件。 例4（教材例6）、已知a，b∈R，求证：（1）(a+b)2≥4ab；（2）2(a2+b2)≥(a+b)2 拓展1、补充不等式串 你能写出证明过程吗？ 拓展2、（1）任取多组三个正数，计算和，比较它们的大小，总结出一般规律； （2）对四个正数、五个正数做类似的实验，总结出普遍规律。 4、 课堂检测 1、 不等式成立的前提条件为（ ） A、 B、 C、 D、 2、 给出下列条件：①；②；③；④，其中能使成立的条件个数为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 3、 下列各式中，对任意实数x都成立的一个式子是（ ） A、 B、 C、 D、 4、已知，求证： 5、 课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$