2.2.3 一元二次不等式的解法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.3　一元二次不等式的解法 学习目标 1.理解一元二次不等式的定义.借助一元二次不等式的概念,培养数学抽象核心素养. 2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.通过学习一元二次不等式的解法,提升数学运算核心素养. 3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.借助简单分式不等式的解法,培养逻辑推理核心素养. 1.一元二次不等式的概念 一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≤”“≥”等. 思考1:(1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗? (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗? 答案:(1)不是,一元二次不等式一定为整式不等式. (2)不可以,若a=0,就不是二次不等式了. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞). 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,再由k值情况,可得原不等式的解集如表. k>0 k=0 k<0 (x-h)2 >k 转化为|x-h|>, 解集为(-∞,h-) ∪(h+,+∞) (-∞,h)∪ (h,+∞) R (x-h)2 <k 转化为|x-h|<, 解集为(h-,h+) 思考2:(1)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么? (2)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,a,b,c满足的条件是什么? 答案:(1)或 (2)或 4.分式不等式 解分式不等式的基本思想是将分式不等式转化为整式不等式.即 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)·g(x)>0 ⇔或 (3)≤0⇔ (4)<0⇔f(x)·g(x)<0 ⇔或 一元二次不等式与相应的方程的关系如表 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 　一元二次不等式的解法 [例1] 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; (3)-4x2+18x-≥0. 解:(1)因为Δ=72-4×2×3=25>0, 所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3, x2=-. 所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}. (2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 解得-1≤x≤5, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. (3)原不等式可化为(2x-)2≤0, 解得x=. 所以原不等式的解集为{}. 解一元二次不等式的方法 方法一:若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集; 方法二:若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零, 则不等式的解集易得; 方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 针对训练:解下列不等式: (1)-x2+3x-5>0; (2)-2x2+3x-2<0; (3)-x2+7x>6. 解:(1)原不等式可化为x2-6x+10<0, 而x2-6x+10=(x-3)2+1≥1, 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 因为Δ=9-4×2×2=-7<0, 所以方程2x2-3x+2=0无实根, 所以原不等式的解集为R. (3)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解方程x2-7x+6=0,得x1=1,x2=6. 所以原不等式的解集为{x|1<x<6}. [备用例1] 解不等式:-2<x2-3x≤10. 解:原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0, 解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0, 解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 　解含参数的一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0). 解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0, 化简为(x+1)(ax-2)≥0. 因为a<0,所以(x+1)(x-)≤0. 当-2<a<0时,≤x≤-1; 当a=-2时,x=-1; 当a<-2时