2.2.2 不等式的解集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.2.2　不等式的解集 学习目标 1.了解不等式(组)的解集的概念,会求简单的一元一次不等式(组)的解集.通过求解一元一次不等式(组),培养数学运算核心素养. 2.了解含绝对值不等式的几何意义,能借助数轴解含有绝对值的不等式.借助绝对值不等式的解法,提升数学抽象、数学运算核心素养. 3.掌握数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式.通过数轴上两点间距离公式及中点坐标公式的学习,培养直观想象核心素养. 1.不等式的解集与不等式组的解集 一般地,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 思考1:不等式的解与解集的区别和联系是什么? 答案:(1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.不等式的解是不等式的解集中的一个. (2)不等式的解集必须满足两个条件:一是解集内的数都是不等式的解;二是解集外的数都不是不等式的解. 2.绝对值不等式 (1)定义 一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)绝对值不等式的解集 由绝对值的几何意义知:当m>0时,关于x的不等式|x|>m的解为 x>m或x<-m,因此解集为(-∞,-m)∪(m,+∞);关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m,因此解集为[-m,m]. 思考2:若m<0,则|x|≤m的解集是什么? 答案:. (3)数轴上两点间的距离公式及中点坐标公式 一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|,这就是数轴上两点之间的距离公式. 如果线段AB的中点M对应的数为x,则x=,这就是数轴上的中点坐标公式. 思考3:不等式|x+1|≤3的解集的几何意义是什么? 答案:数轴上与表示-1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合. (1)解不等式的依据 ①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或整式),不等号的方向不变; ②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; ③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. (2)绝对值不等式 ①解含绝对值的不等式的关键是要去掉绝对值的符号,其基本思想是把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式; ②常用的去掉绝对值的符号的方法:几何意义法、分区间讨论法、平方法(不等式两边非负). (3)绝对值不等式的几何意义 不等式 (m>0) 解集的几何意义 |x|<m 数轴上与原点的距离小于 m的所有数的集合 |x|>m 数轴上与原点的距离大于 m的所有数的集合 |x-b|<m 数轴上与表示b的点的距离 小于m的所有数的集合 |x-b|>m 数轴上与表示b的点的距离 大于m的所有数的集合 　不等式(组)的解集 [例1] 解不等式组,并把解集在数轴上表示出来. (1) (2) 解:(1)解不等式2x+3>1,得x>-1, 解不等式x-2<0,得x<2, 则不等式组的解集为{x|-1<x<2}. 将解集表示在数轴上如下. (2)解不等式x->,得x>2, 解不等式x+8<4x-1,得x>3, 则不等式组的解集为{x|x>3}, 将不等式组的解集表示在数轴上如下. 不等式组的求解步骤 (1)求出不等式组中每个不等式的解集. (2)借助数轴求出各解集的公共部分(交集). (3)写出不等式组的解集. 针对训练:(1)已知关于x的不等式组的解集为(1,3),则a的值为　　　　.  (2)求满足不等式组的整数解. (1)解析:由2x+1>3,得x>1, 由a-x>1,得x<a-1. 又因为不等式组的解集为(1,3), 所以a-1=3,即a=4. 答案:4 (2)解:解不等式①,得x>-2. 解不等式②,得x≤6. 在同一数轴上表示不等式①②的解集如图, 所以原不等式组的解集为(-2,6]. 所以原不等式组的整数解为-1,0,1,2,3,4,5,6. 　绝对值不等式的解法 [例2] 解不等式:|2x-2|+2≤6. 解:原不等式可化为|2x-2|≤4, 故-4≤2x-2≤4,解得-1≤x≤3, 故原不等式的解集为[-1,3]. 变式探究:本例不等式变为|2x-2|+2≥6,则其解集是什么? 解:原不等式变为|2x-2|≥4, 即2x-2≥4或2x-2≤-4, 解得x≥3或x≤-1, 故原不等式的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞). 形如|ax+b|<c,|ax+b|>c(c∈R)的不等式的解法 (1)当c>0时,|ax+b|<c⇒-c<ax+b<c; |ax+b|>c⇔ax+b>c或ax+b<-c. (2)当c=0时,|ax+b|<c无解; |ax+b|>c⇔ax+b≠0. (3)当c<0时,|ax+b|<c无解;