2.1.3 方程组的解集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.1.3　方程组的解集 学习目标 1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组、三元一次方程组,提高数学抽象、数学运算的核心素养. 2.掌握解三元一次方程组过程中三元化二元或一元的基本思路,进一步体会“消元”思想,提高直观想象的核心素养. 3.理解消元法解二元二次方程组的基本思路,会解简单的二元二次方程组.在特定语境中能正确列出方程组,提高数学运算的核心素养. 4.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的核心素养. 方程组的解集 (1)一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集. 思考:方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解,对吗? 答案:对,方程组的解集是由每个方程的公共解构成的,所以方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解. (2)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法.简单的二元二次方程组主要有两类:第一类是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,第二类是由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组. (1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后,用代入消元法将二元二次方程转化为一元二次方程,从而求解. (2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出来,从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组. 　解二元(三元)一次方程组 [例1] 解方程组: (1) (2) 解:(1)法一　①+②,得6x=12,所以x=2. 把x=2代入②,得3×2+7y=13,所以y=1. 所以原方程组的解集为{(2,1)}. 法二　①-②,得-14y=-14,所以y=1. 把y=1代入①,得3x-7×1=-1,所以x=2. 所以原方程组的解集为{(2,1)}. (2)法一　将③分别代入①②,得 解得 把y=2代入③,得x=8. 所以原方程组的解集为{(8,2,2)}. 法二　②-①,得y+4z=10,④ ②-③,得6y+5z=22,⑤ 联立④⑤,得解得 把y=2代入③,得x=8. 所以原方程组的解集为{(8,2,2)}. 法三　①×5,得5x+5y+5z=60,④ ④-②,得4x+3y=38,⑤ 联立③⑤,得解得 把x=8,y=2代入①,得z=2. 所以原方程组的解集为{(8,2,2)}. (1)解二元一次方程组时,用加减消元法消去一个未知数,再求解. (2)解三元一次方程组时,注意代入法的应用,即通过代入,将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题. 针对训练:求下列方程组的解集: (1) (2) 解:(1)将y=7-2x代入3x-2y=14, 得7x-14=14,解得x=4,代入2x+y=7, 得y=-1,故原方程组解集为{(4,-1)}. (2)先消去z得 再消去y得23x=46,解得x=2,代入x-2y=4,得y=-1,再代入2x+y+z=4,得z=1, 故原方程组的解集为{(2,-1,1)}. [备用例1] 求方程组的解集. 解:法一　由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5. 设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0), 并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2. 所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(6,4,10)}. 法二　由①,得x=y,④ 由②,得z=y.⑤ 把④和⑤代入③,得 y+y+y=20,解得y=4. 把y=4分别代入④和⑤, 得x=6,z=10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(6,4,10)}. 　求解二元二次方程组 角度一　二元一次方程与二元二次方程构成的方程组的解集 [例2] 解方程组 解:由②,得x=2y+2,③ 把③代入①,整理,得8y2+8y=0, 即y(y+1)=0. 解得y1=0,y2=-1. 把y1=0代入③,得x1=2; 把y2=-1代入③,得x2=0. 所以原方程组的解是 角度二　二元二次方程与二元二次方程联立所得方程组的解集 [例3] 解方程组 解:由方程②因式分解,得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0或x-y=0. 所以原方程组可化为两个方程组或 解得原方程组的解为 故原方程组的解集是{(,),(-,-),(3,1),(-3,-1)}. (1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 ①由二元一次方程变形为用x表示y的方程或用y表示x的方程(*); ②把方程(*)代入二元二次方程,