2.1.1 等式的性质与方程的解集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

2.1　等　式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习目标 1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程,培养数学抽象的核心素养. 2.通过类比推理,掌握等式推理的基本形式和规则,探索出解方程的核心方法,培养逻辑推理的核心素养. 3.通过求方程的解集,培养数学运算的核心素养. 1.等式的性质 等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立; 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立. 符号语言表示为 (1)如果a=b,则对任意c都有a+c=b+c. (2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc. 思考1:如果a=b,对任意c,是否有a-c=b-c成立? 答案:因为减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-c=a+(-c),b-c=b+(-c),从而对任意c都有a-c=b-c成立. 思考2:如果a=b,对任意不为0的c,都有=成立? 答案:因为除以一个数等于乘这个数的倒数,即=a×,=b×,从而对任意不为零的c,都有=成立. 2.恒等式 (1)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等. (2)十字相乘法: 给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b). 已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程如图: 其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C.这种因式分解的方法称为“十字相乘法”. 思考3:十字相乘法分解因式的关键是什么? 答案:把二次项和常数项分解,交叉相乘,得到两个因数,再把两个因式相加,看它们的和是不是正好等于一次项系数. (3)常见的恒等式: ①a2-b2=(a+b)(a-b). ②(x+y)2=x2+2xy+y2. ③(x-y)2=x2-2xy+y2. ④x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2). ⑤x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2). ⑥(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. ⑦(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd. 思考4:将恒等式中的字母换为其他字母或有意义的代数表示式,等式是否仍然成立? 答案:用其他字母或有意义的代数式去替换恒等式中的字母,等式仍然成立,因此恒等式是进行代数变形的依据之一. 3.方程的解集 方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集. 思考5:把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗? 答案:把方程通过变换,求出的未知数的值不一定是这个方程的根,也可能是这个方程的增根. (1)常用恒等式 ①(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; ②(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3; ③(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. (2)方程ax=b的解集 当a≠0时,解集为{}; 当a=0,b≠0时,解集为; 当a=0,b=0时,解集为R. 　等式性质的应用 [例1] (1)已知x=y,则下列各式:①x-3=y-3;②4x=6y;③-2x=-2y;④=1;⑤=;⑥=.其中正确的有(　　) A.①②③ B.④⑤⑥ C.①③⑤ D.②④⑥ (2)(多选题)若3a=2b,下列各式进行的变形中,正确的是(　　) A.3a+1=2b+1 B.3a-1=2b-1 C.9a=4b D.-=- 解析:(1)①x-3=y-3,③-2x=-2y, ⑤=,正确.故选C. (2)A选项,因为3a=2b,所以3a+1=2b+1,A正确; B选项,因为3a=2b,所以3a-1=2b-1,B正确; C选项,因为3a=2b,所以9a=6b,故C错误; D选项,因为3a=2b,所以-=-,D正确. 故选ABD. 等式的性质是进行恒等变形的依据,是解题过程正确性的保证,应引起重视. 针对训练:将等式变形,过程如下: 因为3a-2b=2a-2b, 所以3a=2a,(第一步) 所以3=2,(第二步) 上述过程中,第一步的依据是　　　　　　　　　　　　　　　　; 第二步得出错误的结论,其原因是　 . 解析:第一步的依据是等式的性质.第二步得出错误的结论,其原因是a=0. 答案:等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立　a=0 　恒等式的化简 角度一　利用恒等式化简 [例2] 计算下列各式: (1)(4+m)(16-4m+m2); (2)(a+2)(a-2)(a4+4a2+16); (3)(x+1)(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1). 解:(1)原式=43+m3=64+m3. (2)原式=(a2-4)(a4+4a2+16) =(a2)3-43 =a6-64. (3)法一　原式=(x2-1)[(x2+1)2-x