1.1.3 第二课时 补 集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

第二课时　补　集 学习目标 1.在具体情境中了解全集的含义及符号表示,理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定集合的补集,通过学习全集、补集的概念,发展数学抽象的核心素养. 2.会用维恩图、数轴进行集合的运算,借助维恩图、数轴的应用提升直观想象素养,通过补集的运算,培养数学运算的核心素养. 1.全集 (1)定义:在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集. (2)记法:全集通常记作 U. 思考1:全集一定包含任何一个元素吗? 答案:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任何元素. 2.补集 (1)定义:如果集合A是全集U的一个子集,则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作∁UA,读作“A在U中的补集”. (2)符号表示:∁UA={x|x∈U,且x∉A}. (3)图形表示: (4)补集运算 由全集U及其子集A得到∁UA,称为补集运算. 思考2:求集合A的补集∁UA的前提条件是什么? 答案:集合A是全集U的子集,即A⊆U. 3.全集补集的性质 (1)∁UU=,∁U=U; (2)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=; (3)∁U(∁UA)=A. 关于补集的两个重要性质 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB); (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 　集合的补集运算 [例1] (1)已知A={0,1,2},∁UA={-3,-2,-1},∁UB={-3,-2,0},用列举法写出集合B; (2)若全集U={x|-3≤x≤3,x∈R},A={x|-3≤x≤0或1<x≤2},求∁UA. 解:(1)因为A={0,1,2}, ∁UA={-3,-2,-1}, 所以U=A∪(∁UA)={-3,-2,-1,0,1,2}. 又因为∁UB={-3,-2,0}, 所以B={-1,1,2}. (2)由补集的定义可知∁UA表示的集合为图中阴影部分,即∁UA={x|0<x≤1或2<x≤3}. 求集合补集的方法 (1)定义法:当集合中元素较少时,可利用定义直接求解. (2)维恩图法:借助维恩图可直观地求出全集及补集. (3)数轴法:当集合中的元素无限时,可借助数轴,需注意端点问题. 针对训练:(1)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},求集合B; (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},求∁UA; (3)设全集I={2,3,x},A={5},∁IA={2,y},求x,y的值. 解:(1)法一　A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, 所以U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 法二　借助维恩图,如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集定义可得∁UA={x|x<-3或x=5}. (3)因为A⊆I,所以5∈I, 所以x=5,所以I={2,3,5}, 因为y∈∁IA,所以y∈I, 且y∉A,即y≠5. 所以y=2或y=3. 又由∁IA中元素的互异性知y≠2, 所以y=3. 综上知x=5,y=3. 　集合的交、并、补集运算 [例2] 已知集合S={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}. 求:(1)(∁SA)∩(∁SB);(2)∁S(A∪B); (3)(∁SA)∪(∁SB);(4)∁S(A∩B). 解:借助数轴,可得 A∩B={x|3≤x<5}, A∪B={x|2≤x<7}, ∁SA={x|1<x<2或5≤x≤7}, ∁SB={x|1<x<3}∪{7}. 由此可得, (1)(∁SA)∩(∁SB)={x|1<x<2}∪{7}. (2)∁S(A∪B)={x|1<x<2}∪{7}. (3)(∁SA)∪(∁SB)={x|1<x<3或5≤x≤7}. (4)∁S(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}. 解决集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分,再运算其他. 针对训练:已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},求下列集合. (1)∁UA及∁UB;(2)A∩(∁UB);(3)(∁UA)∪B. 解:(1)∁UA={x|x<1或3<x≤4或x≥6}, ∁UB={x|x<2或x≥5}. (2)A∩(∁UB)={x|1≤x≤3或4<x<6}∩{x|x<2或x≥5}={x|1≤x<2或5≤x<6}. (3)(∁UA)∪B={x|x<1或3<x≤4或x≥6}∪{x|2≤x<5}={x|x<1或2≤x<5或x≥6}. 　利用补集求参数的取值范围 [例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R.