1.1.2 集合的基本关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 学习目标 1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别集合的子集.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习,培养数学抽象的核心素养. 2.能使用维恩图表达集合间的基本关系,会判断集合间的关系.借助子集、真子集、维恩图的应用,培养逻辑推理与直观想象的核心素养. 1.子集 (1)定义:一般地,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集. (2)符号表示:A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”). (3)对应地,如果A不是B的子集,则记作A⊈B(或B⊉A),读作“A不包含于B”(或“B不包含A”). (4)维恩图表示: (5)性质 ①任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. ②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C. 思考1:子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”? 答案:不能.“A是B的子集”的定义中“集合A的任意一个元素都是集合B的元素”,即对任意x∈A都能推出x∈B.注意是“任意一个元素”而不是某个或某些元素. 思考2:符号“⊆”与符号“∈”有什么区别? 答案:符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系. 2.真子集 (1)定义:一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集. (2)符号表示:A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)维恩图表示: (4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A⫋C. 思考3:任何一个集合都有子集吗?任何一个集合都有真子集吗? 答案:任何一个集合都有子集,但是并不是任何一个集合都有真子集,空集就没有真子集. 思考4:集合A是集合B的子集包含几个方面? 答案:集合A是集合B的子集包含两个方面:A⫋B与A=B. 3.集合的相等与子集的关系 一般地,由集合相等以及子集的定义可知 (1)如果A⊆B且B⊆A,则A=B; (2)如果A=B,则A⊆B且B⊆A. (1)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为当A=时,A⊆B,但A中不含任何元素,又当A=B时,也有A⊆B,但A中含有B中所有元素,这两种情况都有A⊆B.注意符号“⊆”与“∈”的区别. (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此遇到诸如A⊆B,A⫋B的问题时,务必优先考虑A=是否满足题意,以防漏解. 　集合的子集与真子集 [例1] 已知集合M={x|x<2,且x∈N},N={x|-2<x<2,且x∈Z}. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 解:M={x|x<2,且x∈N}={0,1}, N={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}. (1)M的子集为,{0},{1},{0,1};其中真子集为,{0},{1}. (2)N的子集为,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}, 所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6. (3)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论:的子集只有1=20个; {a1}的子集有2=21个; {a1,a2}的子集有4=22个; {a1,a2,a3}的子集有8=23个; … 猜想含有n个元素的集合{a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个. (1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏. (2)含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集.　 针对训练:(1)已知集合A⊆{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A的个数为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 (2)已知集合A={1,2},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:(1)A={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6个.故选A. (2)由题意可得,A={1,2},B={1,2,3,4}, 因为A⊆C⊆B, 所以满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 故选D. 　集合之间关系的判断 [例2] 指出下列各对集合之间的关系. (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}; (3)A={x|-1