1.1.1 第二课时 集合的表示方法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

第二课时　集合的表示方法 学习目标 1.理解并掌握集合的两种表示方法,并针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用数学的符号语言来刻画集合,发展数学抽象素养;通过学习集合的两种表示方法,培养数学运算的核心素养. 2.理解并掌握区间及其表示,为后续不等式解集的学习打好基础.借助空集、区间的概念,发展数学抽象的核心素养. 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法. 思考1:使用列举法表示集合时,相邻元素之间有什么要求? 答案:由于集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用逗号隔开. 2.描述法 一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法. 思考2:集合A={x|x>2}与B={t|t>2}是否表示同一个集合? 答案:是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于2的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合. 思考3:集合{x|y=x+1},{y|y=x+1},{(x,y)|y=x+1}三个集合表示的含义相同吗? 答案:三个集合中的特征性质虽然相同,都是一次函数y=x+1,但{x|y=x+1}表示一次函数y=x+1图像上点的横坐标,是数集;{y|y=x+1}表示一次函数y=x+1图像上点的纵坐标,是数集;{(x,y)|y=x+1}表示一次函数y=x+1图像上点的坐标,是点集.含义不同. 3.区间及其表示 如果a<b (1)集合{x|a<x<b}可简写为(a,b),并称为开区间,用数轴表示,如图①; (2)集合{x|a≤x<b}可简写为[a,b),集合{x|a<x≤b}可简写为(a,b],并都称为半开半闭区间.分别用数轴表示,如图②③. (3)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a,b],并称为闭区间,用数轴表示,如图④. 上述区间中,a,b分别称为区间的左、右端点,b-a称为区间的长度. (4)如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则 实数集R可以表示为区间(-∞,+∞); 集合{x|x≥a}可表示为区间[a,+∞); 集合{x|x>a}可表示为区间(a,+∞); 集合{x|x≤a}可表示为区间(-∞,a]; 集合{x|x<a}可表示为区间(-∞,a). 思考4:区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 答案:不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示. 思考5:“∞”是数吗?以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗? 答案:“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数,所以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号. 在表示集合时,要依据对象的特点或个数的多少采用适当的形式,大多数集合既可用列举法表示,也可用描述法表示.两种方法可用表格对比如下 表示 方法 表达 形式 适用对象 表现 重点 特点 列举法 如{1,2,3, 4,5} ①元素个数不多; ②元素个数多但有规律 集合 外延 直观、 明了 描述法 {x|p(x)} 元素的特征清晰且易于表述 集合 内涵 抽象、 概括 从表格可以看出,变换表示集合的两种方法时,重点在于对元素特征的提炼及具体元素的寻找. 　列举法表示集合 [例1] 用列举法表示下列集合. (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)由1～20以内的所有质数组成的集合; (3)满足x∈N,y∈N的一次函数y=2-x图像上的点的坐标组成的集合. 解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设由1～20以内的所有质数组成的集合为B,那么B={2,3,5,7,11,13,17,19}. (3)由于x∈N,y∈N,因此满足y=2-x的解为或或 设满足x∈N,y∈N的一次函数y=2-x图像上的点的坐标组成的集合为C,那么C={(0,2),(1,1),(2,0)}. 用列举法表示集合时,首先要明确集合的元素属性(如本例(3)中的代表元素是点的坐标,因此应是有序数对,而不是数),然后根据集合中的元素的特征性质将集合中的元素一一列举出来,写在大括号内. 针对训练:用列举法表示下列集合. (1)我国现有的所有直辖市; (2)绝对值小于3的整数的集合; (3)一次函数y=x-1与y=-x+的图像交点组成的集合. 解:(1){北京,上海,天津,重庆}. (2){-2,-1,0,1,2}. (3)方程组的解是 因此所求集合为