5.7 三角函数的应用（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第一册）

5.7 三角函数的应用 考点一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1.简谐运动的振幅就是A. 2.简谐运动的周期T＝. 3.简谐运动的频率f＝＝. 4.ωx＋φ称为相位． 5. x＝0时的相位φ称为初相． 考点二、三角函数模型的应用 1.三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2.建立函数模型的一般步骤 3.解三角函数应用问题的基本步骤 4.运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 重难点题型突破1 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 例1．（1）、（2021上·高一校考课时练习）函数（其中）的图象如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象可得函数的最值和最小正周期，进而可得与，再由可得，即可求得. 【详解】由函数图象可得函数的最大值为，且，所以， 因为函数的最小正周期满足，所以，故， 又点在函数的图象上，所以， 即，所以，所以， 又，所以. 故选：A. （2）、（2021·全国·高一专题练习）函数的周期，振幅，初相分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，2， 【答案】C 【解析】根据有关公式直接计算即可. 【详解】函数的周期为， 振幅为， 初相为. 故选C. 【点睛】一般地，()的周期，振幅为,初相为 【变式训练1-1】、（2022·湖南·高一课时练习）如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时的振动速度最大 D．该质点在和时的加速度为 【答案】D 【分析】由简谐运动得出周期和振幅，质点位移为零时，速度最大，加速度最小；位移最大时，速度最小，加速度最大.振动图象上某点的切线斜率的正负代表速度的方向，根据以上知识可判断出各选项命题的正误. 【详解】对于A、B选项，由图可得知振幅为，周期为，A、B选项错误； 对于C选项，质点在和时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误； 对于D选项，质点在和时刻，质点的位移为，则质点受到的回复力为，所以加速度为，D选项正确.故选D. 【点睛】本题考查简谐运动图象，由简谐运动的图象可直接读出质点的振幅、周期、位移等，同时，要明确加速度方向总是与位移方向相反，大小与位移成正比. 【变式训练1-2】、（2023·全国·高三对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，， ， 则， ， . 因为过点， 由，得. ∵， ∴. 因此频率，初相为. 故选：A 重难点题型突破2 由图像研究函数的性质 例2．（1）、（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为（    ）    A．4 B．5 C．16 D．25 【答案】D 【分析】根据正切函数二倍角公式求得，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边长，即可得大正方形的边长，可求得面积. 【详解】因为，所以 由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为, 所以，解得，所以大正方形的边长为， 故大正方形的面积为. 故选：D. （2）、（2021·全国·高一专题练习）如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. （1）这一天的最大用电量为_____万度，最小用电量为____万度； （2）这段曲线的函数解析式为______________. 【答案】     50     30     【分析】根据图象可得最值以及振幅、周期，利用最低点可求初相位，从而可得解析式. 【详解】由图知，最大用电量为50，最小用电量为30， 故，所以， 又由图象可得半周期为，，故， 又时，，∴