专题13正多边形与圆（4个知识点2种题型）【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题13正多边形与圆（4个知识点2种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.正多边形的概念及相关概念 知识点2.正多边形的基本性质 知识点3.正多边形与圆的相关计算 知识点4.画正三角形、正方形、正六边形 【方法二】 实例探索法 题型1.正多边形及其基本性质 题型2.正多边形与圆的相关计算 【方法三】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.正多边形的概念及相关概念 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念： · 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． · 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． · 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． · 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【例1】关于正多边形的概念，下列说法正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形 C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形 知识点2.正多边形的基本性质 　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 【例2】（2023·江西九江·校联考一模）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 知识点3.正多边形与圆的相关计算 正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 【例3】（2023·河北保定·九年级统考期中）如图，已知的半径为，正六边形为的内接正六边形，连接． (1)________，的长是________． (2)若是的中点，连接，求的长． 知识点4.画正三角形、正方形、正六边形 1.用量角器等分圆 　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形. 2.用尺规等分圆 　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 　　　①正四、八边形. 　　 　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形. 　　②正六、三、十二边形的作法. 　　 　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点. 　　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点. 　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……. 要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点. 【例4】（2022·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【变式1】尺规作图：如图，为的直径． （1）求作：的内接正六边形；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中已画出的图形上连接，已知的半径为4，求的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容． 解：在中，连接． ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∴________（填推理的依据）． ∵为直径， ∴， ∵， ∴________． 【变式2】已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【方法二】实例探索法 题型1.正多边形及其基本性质 1．【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积