专题10垂径定理（3个知识点3种题型）【倍速学习法】2023-2024学年九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

专题10垂径定理（3个知识点3种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.垂径定理 知识点2.垂径定理的相关结论 知识点3.垂径定理及相关结论综合运用 【方法二】 实例探索法 题型1.垂径定理 题型2.垂径定理的相关结论 题型3.垂径定理及相关结论综合运用 【方法三】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.垂径定理 1． 垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 【例1】（2023·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为 ． 知识点2.垂径定理的相关结论 1．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． 3．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的 弧． 4．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． 5．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 【例2】（2023·广东江门·九年级校考期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式】（2023·江苏徐州·九年级统考期中）据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为． (1)观察： “瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______； (2)联想： 如图2，在中，，，平分交于点，则_______； (3)迁移： 图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹） 知识点3.垂径定理及相关结论综合运用 1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． 4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的 弧． 5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． 6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 【例3】（2023·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）如图1，重庆特色的九宫格火锅分九格：四角格、十字格、中心格（中心格一般为正方形）．隔板的设计有以下两种：①横纵隔板两两垂直交于隔板的三等分点如图2所示；②横纵隔板两两垂直交于圆锅边缘（圆）八等分点如图3所示．已知圆锅直径为．    (1)求图2的中心格面积； (2)求两种设计的中心格面积与的差． 【变式】（2023·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，为直径，P为上一点，，过点P的弦，Q为弧上一动点（与点B、C不重合），，垂足为H．连接． (1)求的长； (2)在点Q的运动过程中，的值是否发生变化？若变化求出取值范围，若不变化，求出比值． 【方法二】实例探索法 题型1.垂径定理 1．（2023·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）已知为的直径，是弦，且于点．若，，求的直径．    题型2.垂径定理的相关结论 2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）已知：如图，，是的弦，且，，分别是，的中点．求证： 题型3.垂径定理及相关结论综合运用 3．（2023·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）请用无刻度直尺按下列要求作图． (1)如图1，已知是的直径，四边形是平行四边形，①如图1，当点在圆上时，作的角平分线；②如图2，当点不在圆上时，作的角平分线．    (2)如图3，矩形内接于．点是边的中点，作的角平分线．（点均在上）    4．（2023·湖北武汉·九年级统考期中）已知，圆内接四边形的对角线交于点，平分．    (1)如图1，求证：是圆的直径； (2)如图2，点为圆的圆心，过点作，使，交的延长线于点，若，，求半径的长． 【方法三】 成果评定法 一、单选题 1．（2023·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）如图，是锐角的外接圆，直径平分交于E，于F，于G，连