专题4.2 等差数列（7类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列 【考点1：等差数列的有关概念】 1 【考点2：等差数列的通项】 2 【考点3：等差数列的前n项和】 4 【考点4：等差数列的基本性质及应用】 7 【考点5：等差数列前n项和的最值问题】 9 【考点6：等差数列的判定与证明】 10 【考点7：等差数列的实际应用】 12 【考点1：等差数列的有关概念】 【知识点：等差数列的有关概念】 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项． 1．（2023上·江苏镇江·高三统考期中）已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为 . 2．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）数列1，1，1，1，1是等差数列．( ) （2）若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) （3）任意两个实数都有等差中项．( ) （4）等差数列的公差是相邻两项的差．( ) 3．（2023下·高二课时练习）判断正误（正确的打“正确”，错误的打“错误”） （1）若是等差数列，则也是等差数列．( ) （2）若是等差数列，则也是等差数列．( ) （3）若是等差数列，则对任意都有.( ) （4）等差数列不是递增数列就是递减数列．( ) 4．（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列： (1)1，1，1，1，1； (2)4，7，10，13，16； (3)－3，－2，－1，1，2，3． 【考点2：等差数列的通项】 【知识点：等差数列的通项】 通项公式：an＝a1＋(n－1)d. [方法技巧] 解决等差数列通项中的基本量的思路 在等差数列{an}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程(组)求解即可． 1．（2022上·河南省直辖县级单位·高二校考期末）设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为，前三项的积为，则它的首项是（    ） A． B． C． D． 2．（2022上·甘肃陇南·高二校考期末）已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 . 3．（2023下·高二课时练习）已知为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)，； (2)前三项为. 4．（2023下·高二课时练习）两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 5．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考阶段练习）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 6．（2023下·高二课时练习）已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 【考点3：等差数列的前n项和】 【知识点：等差数列的前n项和】 前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. [方法技巧] 解决等差数列前n项和的基本量的思路 与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an＝a1＋(n－1)d和前n项和公式Sn＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量． 1．（2023·全国·模拟预测）已知为等差数列的前项和，，则（    ） A．240 B．60 C．180 D．120 2．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……则此数列的前45项和为（    ） A．4052 B．2047 C．2048 D．2026 3．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为 ． 4．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）数列满足：，则数列前60项和为 . 5．（2023上·新疆克孜勒苏·高三统考期中）已知数列是等差数列. (1)若，，求； (2)若，，，求. 6．（2023上·天津·高二天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）已知等差数列满足：，． (1)求数列的通项公式以及前n项和； (2)求的值． 7．（2022上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）