3.3二项式定理与杨辉三角第二课时 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

学科 数学 年级 高二 时间 年 月 日 课题 3.3二项式定理与杨辉三角 课型 新授课 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1. 了解杨辉三角，并探索其中的规律. 2. 掌握“赋值法”并会灵活运用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.能正确区分某一项的系数与二项式系数. 知识填空（自主完成） 1． 1项式系数性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“_______”的两个______相等 增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项______的二项式系数最大；如果n为奇数，那么其展开式中间两项______与_______的二项式系数相等且同时取得最大值 二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于______，即C＋C＋C＋…＋C＝_______. 奇数项的二项式系数之和等于______项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________ 注：二项式系数C，从_____,C,C,…___. 2.正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 3.求二项式所有项系数的和，采用“赋值法” 2、 自测 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.(　　) 2．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(　　) 3．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是第9项．(　　) 4．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝9.(　　) 三．典例探究 在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示． 第0行1 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 观察图形，探究对称性，增减性，最大值 (1)利用杨辉三角展开(1－x)6； (2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5? 1.求下列各式的值 （1） ++++ (2)+++++ 2.已知的展开式中,所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大的项。 D．n＋2，n＋3 3.写出(x－y)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和 4.变式：.已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 5.求的展开式中的系数 6.求+++...++的展开式中含的项。 总结： 1．二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 2．展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项． 3.二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ 四、当堂检测： 1.已知(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_______ 2. 已知(1＋2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　) A． B． C． D． 3.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　) 1 2 　 2 3　 4 　 3 4 　 7 　 7 　 4 5 　11 　14 　11 　5 · 　·　 ·　 ·　 · 　· a　b　 ·　 ·　 ·　 · 　 ·