6.1.5 向量的线性运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

6.1.5　向量的线性运算 选题明细表 知识点、方法 题号 线性运算 2,3,6,10 线性运算的应用 1,4,5,7,8,9,11,12 基础巩固 1.(多选题)设e1,e2是不共线的两个向量,下列四组向量中a与b共线的有(　ACD　) A.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 B.a=e1+e2,b=2e1-2e2 C.a=2e1-e2,b=e1-e2 D.a=2e1,b=-3e1 解析:对于A,b=-2a;对于B,不存在实数λ,使a=λb,故a与b不共线;对于C,a=2b;对于D,b=-a.故选ACD. 2.(-2a+2b)-(6a-3b)等于(　B　) A.4a+5b B.-8a+5b C.-8a-b D.4a-b 解析:原式=-2a+2b-6a+3b=-8a+5b.故选B. 3.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3, F为AE的中点,则等于(　C　) A.- B.- C.-+ D.-+ 解析:由题意可知=+=+=-+(++)=-+ (++)=-+++(++)=-++=-+.故选C. 4.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是(　C　) A.平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形 解析:由已知可得=-, 所以∥,且||≠||,又||=||, 所以四边形ABCD是等腰梯形.故选C. 5.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　A　) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析:=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,又与有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选A. 6.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使+= m成立,则m=　　　　.  解析:因为++=0,所以++++=0,+= -3=3=m,故m=3. 答案:3 能力提升 7.已知O是直线AB外一点,C,D是线段AB的三等分点,且AC=CD=DB.若=3e1,=3e2,则等于(　A　) A.e1+2e2 B.2e1+e2 C.e1+e2 D.e1+e2 解析:由题意知=, 即3=2, 所以3(-)=2(-), 所以3=2+, 所以=+=e1+2e2.故选A. 8.若2(y-a)-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　 .  解析:将原等式变形为2y-a-c-b+y+b=0, 即y-a-c+b=0, y=a-b+c, 所以y=(a-b+c)=a-b+c. 答案:a-b+c 9.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x+y=　　 　　.  解析:因为=2,所以=. 因为=, 所以=(+), 所以=-=(+)-=-, 又=x+y, 所以x=,y=-,则x+y=. 答案: 10.已知O,A,M,B为平面内四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). (1)求证:A,B,M三点共线; (2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围. (1)证明:因为=λ+(1-λ)=λ+-λ, 所以-=λ-λ, 所以=λ(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). 又与有公共点A, 所以A,B,M三点共线. (2)解:由(1)知=λ, 若点B在线段AM上,则与同向, 且||>||>0,所以λ>1. 故实数λ的取值范围为(1,+∞). 应用创新 11.已知点E,F,G,H分别为平面四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的 中点. 求证:(1)=; (2)=(+). 证明:(1) 如图,连接AC, 因为点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点, 所以==. (2)连接EC,ED, 则=(+) =(+++) =(+). 12.已知在△ABC中,存在唯一的点G,使得++=0,则点G即为△ABC的重心.那么在平面四边形ABCD中,是否存在唯一的点P,使得+++=0?若存在,请证明;若不存在,请说明理由. 解:存在唯一的点P, 使得+++=0. 证明如下:如图所示,对于平面四边形ABCD,四点A,B,C,D是已经确定的点,另取平面内一个确定的点O,连接OA,OB,OC,OD, 则向量,,,是确定的. 假设存在符合条件的点P,则向量待定.若能用确定的向量,, ,表示出,则点P就确定了. 注意到=-,=-,=-,=-,代入等式+++=0,得=(+++), 所以存在唯一的点P,使得+++=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$