4.3 指数函数与对数函数的关系-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 选题明细表 知识点、方法 题号 反函数的概念与求解 1,2,4,5,6,7,9 对数函数与指数函数 3,8,10,11,12 基础巩固 1.设f(x)=3x+9,则f-1(x)的定义域是(　B　) A.(0,+∞) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(-∞,+∞) 解析:因为f(x)=3x+9>9, 所以反函数的定义域为(9,+∞).故选B. 2.若函数y=f(x)的反函数图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点(　C　) A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) 解析:原函数与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).故选C. 3.(2021·福建莆田检测)已知a,b均为不等于1的正数,且满足 lg a+lg b=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图像可能是(　B　) 解析:由lg a+lg b=0,得ab=1,即b=, 所以g(x)=-lox=logax, 所以f(x)与g(x)互为反函数,图像关于直线y=x对称.故选B. 4.(多选题)(2021·辽宁辽阳期末)已知函数f(x)在定义域内单调递增,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为f-1(x),则(　AB　) A.f-1(-1)=1 B.f-1(x)在定义域内单调递增 C.f-1(-1)=-1 D.f-1(x)在定义域内单调递减 解析:因为f(1)=-1,则由反函数的定义及性质可知,f-1(-1)=1,f-1(x)在定义域内单调递增,所以A,B正确.故选AB. 5.若函数f(x)的反函数为f-1(x)=x2(x>0),则f(4)=　　 　　.  解析:设f(4)=b,则4=f-1(b)=b2,且b>0,所以b=2. 答案:2 6.设函数f(x)=log2x+3,x∈[1,+∞),则f-1(x)的定义域是　　　 　, f-1(5)=　　　　.  解析:因为x≥1,所以log2x≥0, 所以log2x+3≥3, 所以f-1(x)的定义域为[3,+∞). 令log2x+3=5,得x=4, 所以f-1(5)=4. 答案:[3,+∞)　4 能力提升 7.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是(　C　) A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞) C.a∈(-∞,1]∪[2,+∞) D.a∈[1,2] 解析:因为二次函数f(x)=x2-2ax-3不是定义域上的单调函数,但在其定义域的子区间(-∞,a],[a,+∞)上是单调函数. 当函数f(x)在区间[1,2]上存在反函数时,[1,2]⊆(-∞,a]或[1,2]⊆ [a,+∞),则a≥2或a≤1.故选C. 8.已知a>0,且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,那么f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　C　) 解析:由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,所以0<a<1. 所以f(x)是减函数,且g(x)是减函数. 故选C. 9.若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为(　B　) A.1 B.-1 C.±1 D.任意实数 解析:因为函数图像本身关于直线y=x对称,故可知原函数与反函数是同一函数,所以依题意,知(1,)与(,1)皆在原函数图像上,(1,)与(,1)为不同的点,所以a≠2,所以=1,故可得a=-1.故选B. 10.已知函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,若正数x1,x2,…, x2020满足x1·x2·…·x2020=243,则g()+g()+…+g()+g()的值为　　 　.  解析:由函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,则g(x)=log3x,所以g()+g()+…+g()+g()=log3(x1·x2·…·x2020)2= 2log3(x1·x2·…·x2 020)=2log3243=10. 答案:10 11.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0. (1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的反函数; (3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2. 解:(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=. 因为x∈R,f(x)+f(-x)=+=+=0, 所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数. (2)因为f(x)=y==1-, 所以2x=(-1<y<1), 所以f-1(x)=log