5.3.5 随机事件的独立性-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.3.5　随机事件的独立性 学习目标 1.通过具体情境,了解两个事件相互独立的概念,能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,体会数学抽象的核心素养. 2.通过例题的学习,会用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题,提升数学运算的核心素养. 相互独立事件 一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称A与B相互独立(简称独立). (1)如果事件A与B相互独立,则与B,A与,与也相互独立. (2)与相互独立事件A,B有关的概率的计算公式如下表 事件A,B相互独立 概率计算公式 A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B) A,B同时不发生 P( )=P()P()= [1-P(A)]·[1-P(B)]= 1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) A,B至少有一个不发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A,B至少有一个发生 P=1-P( )= 1-P()P()= P(A)+P(B)-P(A)P(B) A,B恰有一个发生 P=P(A+B)= P(A)P()+P()P(B)= P(A)+P(B)-2P(A)P(B) 思考1:若事件A与B相互独立,事件A是否发生对事件B是否发生有影响吗? 答案:没有影响.事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. 思考2:若事件A1,A2,…,An相互独立,则P(A1A2…An)=　　　　.  答案:若事件A1,A2,…,An相互独立,那么这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). “相互独立事件”与“互斥事件”的区别 相互独立事件 互斥事件 判断 方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件不可能同时发生,即A∩B= 概率 公式 若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),反之不成立 (1)对于事件A,B,在一次试验中,如果不能同时发生,那么称A,B互斥.互斥事件A,B不能同时发生,但可能同时不发生. (2)在一次试验中,如果事件A,B互斥,且A,B中必然有一个发生,那么称A,B对立.对立事件必有一个发生,一个不发生.对立事件A,中,“A+”为一个必然事件,所以有P(A+)=P(A)+P()=1. (3)相互独立事件,A,B各自是否发生互不影响,既可以同时发生,也可以同时不发生,或者一个发生另 一个不发生.相互独立事件A,B同时发生记作事件“AB”(又称积事件),则P(AB)=P(A)P(B). 相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系.互斥事件可以看作两个事件中,一个事件发生对另一个事件的发生不仅有影响而且影响大到不可能同时发生. 　事件的独立性的判断 [例1] 给出下列各对事件,其中是相互独立事件的为　　　　.(填序号)  ①甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生.现从甲、乙两组中各选1人参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; ②容器内装有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,球除颜色外没有其他差异,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“再从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”; ③掷一枚骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”. 解析:“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以①是相互独立事件; “从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“再从剩下的7个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以②不是相互独立事件; 记事件A表示“出现偶数点”,事件B表示“出现3点或6点”,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6}, 所以P(A)==,P(B)==,P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),所以③是相互独立事件. 答案:①③ 判断两个事件是否相互独立有两种方法 (1)经验法,根据问题的实质,直观上看一个事件的发生是否影响另一个事件发生的概率.若没有影响,则这两个事件就是相互独立事件,这是定性判断. (2)定义法,通过计算P(AB),P(A)P(B)来判断两个事件是否独立,若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B相互独立,这是定量判断. 针对训练:(1)袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　　) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.不相互独立事件 (2)如果事件M和事件N相互