5.3.4 频率与概率-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.3.4　频率与概率 学习目标 1.通过具体情境,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,培养学生数据分析、逻辑推理的核心素养. 2.通过概率概念的学习,理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题,培养学生数学建模、数学运算的核心素养. 3.通过频率与概率的学习,理解频率与概率的区别,培养学生数学抽象的核心素养. 用频率估计概率 一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为,此时0≤P(A)≤1.这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率. 思考:频率与概率有何关系? 答案:在大量的重复试验中,一个事件发生的频率会接近于这个事件发生的概率,而且,试验的次数越多,频率与概率之间的差距很小的可能性越大.一个事件发生的概率是固定值,而频率随着试验的次数会发生改变. 概率意义的正确理解 (1)随机事件在一次试验中是否发生是随机的,但在这种随机性中具有规律性.概率是从数量上反映随机事件发生的可能性大小的一个数学概念,它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律性,认识了这种随机性中的规律性,就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性. 例如,做连续抛掷两枚硬币的试验100次,可以预见“两个正面朝上”大约出现25次,“两个反面朝上”大约出现25次,“正面朝上、反面朝上各一个”大约出现50次,出现“正面朝上、反面朝上各一个”的机会比出现“两个正面朝上”或“两个反面朝上”的机会大. (2)对单次试验来说,某随机事件发生与否仍是随机的.必然事件和不可能事件可以看作是随机事件的两个极端情况.概率的值越接近1,表明事件发生的可能性越大;反过来,概率的值越接近0,则事件发生的可能性越小. 　比率问题的计算 [例1] 某校3 000名学生,参加消防知识竞赛,分数在[80,100]内为优秀,且有2 400人,估计这次竞赛的优秀率. 解:因为×100%=0.8×100%=80%, 所以估计这次竞赛的优秀率为80%. 计算学生成绩的优秀率、及格率和种子的发芽率的公式 优秀率=×100%; 及格率=×100%; 发芽率=×100%. 针对训练:某校2 000名学生,参加艺术节的体育、歌舞、演讲活动,报名参加体育活动的有800人,估计这次报名参加体育活动的人数在学校占的比例. 解:因为×100%=0.4×100%=40%,所以估计这次报名参加体育活动的人数在学校占的比例为40%. 　利用频率估计概率 [例2] 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图. (1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率. 解:(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为=, 用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200 h的概率约为. (2)根据频数分布直方图可得寿命大于200 h的两种品牌产品共有75+70=145(个), 其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是=, 据此估计已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为. 概率的计算问题与抽样方法、频率分布直方图、频率分布表、茎叶图等知识点相结合的问题的求解步骤 ①根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样本数据、平均数等统计量. ②根据题意,一般由频率估计概率,确定相应的事件的概率. 针对训练:为了了解学生的身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的统计图如图. (1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率. 解:(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%,可估计全校男生人数为400. (2)由统计图知,样本中身高在170～185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人),样本容量为70, 所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f==0.5, 故估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p=0.5. 1.给出下列三个命题 ①设有一大批产品,已知其次品率为0.1,则从中任取100件,必有10件是次品; ②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此,出现正面的概率是; ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 其中正确命题的个数是(　A　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①②显然错误,在试验中,随机事件发生的频率不是常数,但具有稳定性,当n很大时,总是趋近于某一个常数,在其附近摆动,这个常数可视为概率,所以随机事件发生的频率和它的概率是不同的,故③错误.故选A. 2.“某彩票的中奖概率为”意味着(　D