5.3.2 事件之间的关系与运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.3.2　事件之间的关系与运算 学习目标 1.通过阅读课本,了解事件的包含关系和相等关系,了解并事件与交事件的概念,会进行事件的运算,培养数学抽象的核心素养. 2.通过具体实际问题的解决,理解互斥事件和对立事件的概念及关系,会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率,培养逻辑推理和数学运算的核心素养. 3.通过本节例题的学习,会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算,培养数学抽象的核心素养. 1.事件的包含与相等 (1)一般地,如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”),记作A⊆B(或B⊇A),这一关系用图形表示如图. A⊆B也可用充分必要的语言表述为:A发生是B发生的充分条件;B发生是A发生的必要条件. (2)若事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”,记为A=B. ①A=B⇔A⊆B,且B⊆A⇔A与B有相同的样本点. ②A=B也可用充分必要的语言表述为A发生是B发生的充要条件,即当A=B时,P(A)=P(B). 2.事件的和(并) 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并),记作A+B(或A∪B). A与B的和(或并)用图形表示如图. (1)由定义可知,事件A+B发生时,当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生,即 P(A)≤P(A+B),且P(B)≤P(A+B), (2)直观上可以知道:P(A+B)≤P(A)+P(B). 思考1:事件A、事件B同时发生,与至少有一个发生有何区别? 答案:事件A、事件B同时发生,是指两个事件都发生; 事件A、事件B至少有一个发生包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A、事件B都发生. 3.事件的积(交) 给定事件A,B,由A与B中公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交),记作AB(或A∩B). 用图形表示如图. 由定义可知,事件AB发生时,当且仅当事件A与事件B都发生. 4.事件的互斥与对立 (1)互斥事件 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称事件A与B互斥,记作AB=(或A∩B=). 用图形表示如图. 任意两个基本事件都是互斥的,与任意事件互斥. 互斥事件的概率加法公式:当A与B互斥(即AB=)时,有P(A+B)=P(A)+P(B). 一般地,如果A1,A2,…,An是两两互斥的事件,则P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An). (2)对立事件 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件,记作.用集合的观点来看,是A在Ω中的补集. 用图形表示如图. 如果B=,则称A与B相互对立.由事件A+是一个必然事件,可得P(A+)=1. 思考2:互斥事件与对立事件的关系? 答案:对立事件一定是互斥事件;互斥事件不一定是对立事件. 5.事件的混合运算 事件的混合运算,同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,我们规定:求积运算的优先级高于求和运算,因此(A)+(B)可简写为A+B. 思考3:任意给定两个事件A,B,P(A+B),P(A),P(B),P(AB)有何关系? 答案:(1)若事件A,B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B),P(AB)≤P(A)+P(B). (2)若事件A包含事件B,则P(A+B)=P(A),P(AB)=P(B),P(AB)≤P(A). (3)若事件B包含事件A,则P(A+B)=P(B),P(AB)=P(A),P(AB)≤P(B). 1.事件与集合的对应关系 符号 事件角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 A的对立事件 A的补集 A⊆B 事件A包含 于事件B 集合A是集合 B的子集 A=B 事件A等于事件B 集合A等于集合B A+B或 A∪B 事件A与事件B 的并(和) 集合A与 集合B的并集 AB或 A∩B 事件A与事件B 的交(积) 集合A与集 合B的交集 A∩B= 事件A与 事件B互斥 集合A与集 合B的交集为空集 A∩B= A∪B=Ω 事件A与 事件B对立 集合A与集 合B互为补集 2.互斥事件的概率加法公式的应用 (1)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏. (2)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②先求各事件分别发生的概率,再求和. 3.较复杂事件概率的求法 (1)求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和