5.3.1 样本空间与事件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

5.3　概　率 5.3.1　样本空间与事件 学习目标 1.通过具体实例了解必然现象和随机现象,了解不可能事件、必然事件与随机事件,培养直观想象的核心素养. 2.通过实例理解事件、基本事件与样本点的定义,会求试验中的样本空间以及事件A包含的基本事件的个数,培养由特殊到一般的核心素养. 3.联系实际理解任意事件发生的概率为[0,1],培养学生的数学抽象与数据分析的核心素养. 1.生活中的现象 生活中的现象,根据结果是否可以准确预测,可以分两类:随机现象与必然现象. 一定的条件下,发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象),发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象). 2.样本点和样本空间 (1)我们把在相同条件下,对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验). (2)随机试验中每一种可能出现的结果,都称为样本点,把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示). 思考1:样本点与其对应的样本空间Ω有何关系? 答案:样本点是其对应的样本空间Ω中的一个元素.若样本点记为a,则a∈Ω. 3.随机事件 (1)如果随机试验的样本空间为Ω,则随机事件A是Ω的一个非空真子集.而且:若试验的结果是A中的元素,则称A发生(或出现等);否则,称A不发生(或不出现等).随机事件也可用自然语言描述. (2)一般地,不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件,通常用大写英文字母A,B,C,…来表示事件.特别地,只含有一个样本点的事件称为基本事件.若A=Ω,是必然事件;若B=,是不可能事件. 4.随机事件的概率 (1)事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率(也简称为事件的概率)来衡量,概率越大,代表越有可能发生.事件A的概率通常用P(A)表示. (2)规定:不可能事件发生的概率为0,必然事件Ω发生的概率为1,即P()=0,P(Ω)=1. 任意事件A的概率满足P()≤P(A)≤P(Ω). 思考2:任意事件A的概率P(A)的取值范围是什么?可以用小数、分数或百分数表示吗? 答案:任意事件A的概率P(A)∈[0,1],P(A)可以用小数、分数或百分数表示. (1)样本点个数的计算 ①列举法.列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单,样本点个数不是很多的概率问题,计算时只需一一列举,即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序,做到不重不漏. ②列表法.对于试验结果不是太多的情况,可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”,以便更直接地找出样本点的个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏,其中最常用的方法是坐标系法. ③树形图法.树形图法是进行列举的一种常用方法,适用于求较复杂的问题的样本点个数. 例如,一个口袋中有2个白球和1个黑球,这3个球除颜色外完全相同.三个人按顺序依次从中摸出一个球,求这个试验的样本点的总数. 我们把2个白球和1个黑球分别编号为a,b,c,则可将三个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果用树形图表示,如图. 共6个样本点. ④分类写法.若问题与顺序无关,则可应用分类的方法写出所有样本点. 例如,从a,b,c,d中任取两个字母, 含a的有{(a,b),(a,c),(a,d)}, 不含a,含b的有{(b,c),(b,d)}, 不含a,b,含c的有{(c,d)}. (2)从集合的角度理解样本点 样本点具有如下性质: ①不能或不必分解为更小的随机事件. ②不同的样本点不可能同时发生. 样本点的概念类似于集合中元素的概念,试验可能发生的全部结果是一个集合,其元素是样本点(或试验结果).样本点不能分解和样本点不能同时发生,相当于集合中的元素是基本单元(不可分)和集合中元素的互异性.随机事件可理解为样本空间的子集. 　事件的判断 [例1] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件. (1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元; (2)三角形的内角和为180°; (3)没有空气和水,人类可以生存下去; (4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,都出现正面向上; (5)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现. 解:(1)购买一注彩票,可能中奖,也可能不中奖,所以是随机事件. (2)所有三角形的内角和均为180°,所以是必然事件. (3)空气和水是人类生存的必要条件,没有空气和水,人类无法生存,所以是不可能事件. (4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,不一定都是正面向上,所以是随机事件. (5)由能量守恒定律可知,不需任何能量的“永动机”不会出现,所以是不可能事件. 对事件分类的两个关键点: (1)条件:在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生. (2)结果发生与否:有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况. 针对