4.4 幂函数-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.4　幂函数 学习目标 1.通过幂函数概念与图像的学习,掌握幂函数的概念、图像和性质.培养数学抽象的核心素养. 2.通过作幂函数当α=1,2,3,,-1时的五类幂函数的图像.掌握一般幂函数的各种性质,提升作图与识图、由特殊到一般的核心素养. 3.通过幂函数性质的学习,能利用幂函数的图像与性质解决综合问题,提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 1.幂函数的概念 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数. 思考1:幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有什么样的区别? 答案:幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而指数函数y=ax(a>0,且a≠1)正好相反,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数y=xα图像与性质的共同特征 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. (3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图像在x轴上方且无限地逼近x轴. 思考2:幂函数的图像能出现在第四象限吗? 答案:不能.由幂函数的解析式y=xα,知当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图像不经过第四象限. 3.五个常见幂函数的图像及性质 (1)图像 (2)五个常见幂函数的性质 　　函数 性质　　 y=x y= y=x2 y=x3 y=x-1 定义域 R [0, +∞) R R {x|x≠0} 值域 R [0, +∞) [0,+∞) R (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶性 奇函数 非奇非 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在R 上是 增函 数 在[0, +∞) 上是 增函 数 在(-∞, 0)上是减 函数,在 [0,+∞) 上是 增函数 在R上 是增函 数 在(-∞, 0)上是 减函数, 在(0,+∞) 上是减 函数 公共点 (1,1) 对幂函数的性质的补充说明 1.定义域:在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关,要保证函数解析式有意义. 具体如下: α的分类 y=xα的定义域 α∈N+ R α≤0,α∈Z {x|x∈R,且x≠0} α=± (p,q互质,p,q∈N+,q>1) α= q是偶数 [0,+∞) q是奇数 R α=- q是偶数 (0,+∞) q是奇数 {x|x∈R,且x≠0} 2.幂函数y=xα(α∈R)奇偶性的判断方法 α的分类 y=xα的奇偶性 α∈N α是偶数 偶函数 α是奇数 奇函数 α=(p,q互质,p,q∈Z,q≠1) q是奇数 p是奇数 奇函数 p是偶数 偶函数 q是偶数 既不是奇函数,也不是偶函数 　幂函数的概念 [例1] (1)在函数y=x-2,y=2x2,y=(x+1)2,y=3x中,幂函数的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则f(3)=　　　　.  解析:(1)根据幂函数定义可知,只有y=x-2是幂函数.故选B. (2)因为函数f(x)=lg(m2+6)·xm(x∈R)为幂函数,则lg(m2+6)=1, 即lg(m2+6)=lg 10, 解得m=±2. 又函数的定义域为R, 故m=2,则f(x)=x2, 得f(3)=9. 答案:(1)B　(2)9 只有形如y=xα(其中α为任意实数,x为自变量)的函数才是幂函数,否则就不是幂函数.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,且①指数为常数,②底数为自变量,③底数前面的系数为1. 针对训练:(1)如果幂函数y=(m2-3m+3)的图像不过原点,则(　　) A.-1≤m≤2 B.m=1或m=2 C.m=2 D.m=1 (2)若幂函数f(x)的图像经过点(4,),则 f()=　　　　.  解析:(1)由题意,得 解得m=1.故选D. (2)设幂函数f(x)=xα,点(4,)满足解析式, 则=4α,即2-1=22α, 所以α=-, 所以f(x)=,f()=()=()-1=4. 答案:(1)D　(2)4 [备用例1] 已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图像与x轴,y轴都无交点,则函数f(x)的解析式是　　　　.  解析:因为函数的图像与x轴,y轴都无交点, 所以m2-1<0, 解得-1<m<1.因为m∈Z, 所以m=0, 所以f(x)=x-1. 答案:f(x)=x-1 　幂函数的图像和性质 [例2] 如