4.2.3 对数函数的性质与图像-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

4.2.3　对数函数的性质与图像 学习目标 1.通过指数与对数的互化,理解对数函数的概念及对数函数的性质和图像,初步掌握对数函数的性质和图像.发展学生的数学抽象、直观想象及数学运算的核心素养. 2.通过对数函数的图像和性质的学习,理解对数函数的性质,并能利用对数函数的性质解决比较对数式大小、求最值、解不等式等综合问题,提升数学抽象及数学运算的核心素养. 3.在掌握对数函数图像与性质的基础上,会运用对数函数的图像和性质解决相关问题.提升分析问题与解决问题的核心素养. 1.对数函数的定义 一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1. 思考:函数y=log2(2x)是对数函数吗? 答案:不是,只有形如y=logax(a>0且a≠1)的函数才是对数函数.即真数必须为单独的x,对数前的系数必须为1. 2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像和性质 定义 y=logax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图像过定点(1,0) 函数值 特点 x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0] 续　表 对称性 函数y=logax与y=x的图像关于x轴对称 补充 性质 设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1. (1)当x>1时,“底大图低”,即若a>b,则y1<y2; (2)当0<x<1时,“底大图高”,即若a>b,则y1>y2 做一做1:对数函数f(x)=log2x的图像过定点　　　　;函数f(x)=log2(2x-1)+2的图像过定点　　　　.  解析:对数函数y=log2x的图像过定点(1,0);在f(x)=log2(2x-1)+2中,令2x-1=1,即x=1,则f(x)=2,所以函数f(x)=log2(2x-1)+2的图像过定点(1,2). 答案:(1,0)　(1,2) 做一做2:对数函数f(x)=logax(a>1)在(0,+∞)上为单调　　　　函数(填“增”或“减”),若x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2),则　　　　f()(填“>”或“<”).若对数函数改为f(x)=logax(0<a<1),如何解答?  解:对数函数f(x)=logax(a>1)的图像从左到右呈上升趋势,因此,在(0,+∞)上为单调增函数,其图像上凸,所以<f();对数函数f(x)=logax(0<a<1)的图像从左到右呈下降趋势,因此在(0,+∞)上为单调减函数,所以>f(). (1)对数函数图像的特征: ①画对数函数y=logax的图像时,应牢牢抓住三个关键点:(a,1),(1,0),(,-1). ②对数函数图像与直线y=1的交点横坐标越大,则对应的对数函数的底数越大. ③对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的底数变化对图像位置的影响如图所示. 观察图像,注意变化规律: a.上下比较:在直线x=1的右侧,当a>1时,a越大,图像越靠近x轴,当0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴. b.左右比较:(比较图像与直线y=1的交点)交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. (2)常见的对数比较大小有以下三种类型: ①底数相同,可直接利用单调性比较; ②底数不同,看是否可用插值法,如插入1=logaa,0=loga1进行间接比较; ③底数不同,真数相同,则可用图像关系或进行换底后比较. (3)复合函数的单调性: 一般按照“同增异减”的原则来判断,对数型复合函数的单调性可用以下方法判断: 设y=logaf(x)(a>0,且a≠1). 首先求满足f(x)>0的x的范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调递减: ①当a>1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相同,即在I1上单调递增,在I2上单调递减; ②当0<a<1时,原函数与内层函数f(x)的单调区间相反,即在I1上单调递减,在I2上单调递增. 　对数函数的概念 [例1] 下列函数中,哪些是对数函数? (1)y=logax2(a>0,且a≠1); (2)y=log2x-1; (3)y=2log8x; (4)y=logxa(x>0,且x≠1); (5)y=log5x. 解:(1)中真数不是自变量x,故不是对数函数. (2)中对数式后减1,故不是对数函数. (3)中log8x前的系数是2,而不是1,故不是对数函数. (4)中底数是自变量x,而非常数,故不是对数函数. 故只有(5)为对数函数. 判断一个函数是对数函数,必须是形如y=logax(a>0,且a≠1),即必须满足以下条件